水晶発振器の物理設計 — 圧電効果とバトラー等価回路が刻む周波数の起源

この回で学ぶこと

原子時計とUSOの回では、探査機搭載のUSO(Ultra-Stable Oscillator)がアラン偏差 $\sigma_y(\tau)\sim10^{-13}$ 程度の周波数安定度を持ち、地上局の水素メーザーに2桁劣る、という数値を扱いました。オシレータの位相雑音の回では、その同じ揺らぎを周波数領域から眺め、Leesonモデルによって位相雑音スペクトルの傾きが増幅器の熱雑音・フリッカー雑音と共振器のQ値からどう生まれるかを見ました。どちらの回も、発振器の出力を $v(t)=V_0\cos(2\pi f_0 t+\phi(t))$ という抽象的な信号として扱い、「揺らぎ $\phi(t)$ や $y(t)$ をどう測るか」に焦点を当ててきました。

しかし、そもそもこの $f_0$ という周波数はどこから生まれてくるのでしょうか。USOの心臓部にあるのは、多くの場合ただの石英(水晶、SiO$_2$の結晶)の薄い板です。金属の電極でこの板を挟み、電気回路につなぐだけで、なぜ数MHz〜数十MHzという安定した周波数の電気振動が持続的に得られるのか。この回では、位相雑音やアラン分散という「測り方」から一歩戻って、水晶発振器という装置そのものの物理的な動作原理——圧電効果、等価回路、カット角による温度特性の設計、そして温度補正・恒温槽による安定化——を数式とともに掘り下げます。

直感的な導入

水晶発振器の中身を覗くと、そこにあるのは金属電極で挟まれた、わずか数百マイクロメートル〜数ミリメートル厚の石英の薄片(ウエハ)だけです。この薄片に交流電圧をかけると、板全体がごくわずかに機械的に振動し始めます。石英という結晶には**圧電効果(piezoelectric effect)**という性質があり、電圧をかけると結晶格子がわずかに歪み(逆圧電効果)、逆に結晶を機械的に歪ませると電極間に電圧が発生する(正圧電効果)という、電気と機械のエネルギーが双方向に変換される現象が起きるためです。

ここで面白いのは、この薄片が「機械的な共振器」でもあるという点です。板の厚みや切り出し方によって決まる固有の機械的共振周波数(板がもっとも振動しやすい周波数)が存在し、外部の電気回路がこの共振周波数付近で板を駆動すると、圧電効果を介して振動が急激に増幅されます。石英という結晶は機械的な内部損失が極めて小さい(振動のエネルギーがほとんど熱として失われない)ため、この機械共振は電子回路のLC共振などとは比較にならないほど「鋭い」共振、つまり非常に高いQ値を持ちます。そして圧電効果によってこの機械振動がそのまま電極間の電気信号として取り出せるため、結晶の機械的な共振周波数が、外部から見るとそのまま電気回路の共振周波数として現れるのです。この機械振動を、増幅器を使った正帰還ループに組み込んで持続発振させたものが水晶発振器です。

この回で扱うのは、(1) この圧電効果がどういう数式で表されるか、(2) 機械共振が電気回路的にどう等価表現されるか(等価回路)、(3) なぜ石英の切り出し角度(カット角)によって温度に対する安定性が大きく変わるのか、(4) そして実際のUSOがこの水晶をどう温度制御して安定化しているか、という4つのテーマです。

数式による定式化

圧電効果の構成方程式

圧電体の電気的・機械的な応答は、IEEE Std 176(圧電性に関する標準)で定式化される線形構成方程式によって、応力 $T$・ひずみ $S$・電界 $E$・電束密度 $D$ の間の関係として書けます。1次元的に簡略化すると、

$$S = s^E T + d E, \qquad D = d T + \varepsilon^T E$$

ここで $s^E$ は電界一定条件下での弾性コンプライアンス(弾性率の逆数、単位 m$^2$/N)、$\varepsilon^T$ は応力一定条件下での誘電率、$d$ は圧電ひずみ定数(単位 C/N、あるいは等価に m/V)です。

この2つの式にはそれぞれ、圧電効果に無関係な「素朴な」応答($s^E T$ という通常の弾性応答、$\varepsilon^T E$ という通常の誘電応答)と、$d$ を係数とする交差項が含まれています。この交差項こそが圧電効果の本体です。

• 応力をかけない($T=0$)状態で電界 $E$ を印加すると、$S = dE$ となり、電界に比例したひずみが生じます。これが逆圧電効果で、電圧をかけると結晶が機械的に変形する現象です。
• 電界をかけない($E=0$)状態で応力 $T$ を加えると、$D = dT$ となり、応力に比例した電束密度(≒表面電荷)が生じます。これが正圧電効果で、1880年にキュリー兄弟が発見した、結晶を歪ませると電圧が生じる現象です。

石英を含む圧電結晶では、この $d$ が結晶の対称性(点群)によって非ゼロの成分を持ちます。水晶(石英)は三方晶系の点群32に属し、特定の結晶軸方向にこの圧電結合が現れます。水晶発振器の電極間に交流電圧 $V(t)=V_0\cos(2\pi f t)$ を印加すると、逆圧電効果によって結晶内部に周期的なひずみが誘起され、板が機械的に振動します。この機械振動が板の固有共振周波数に一致すると振動振幅が急激に増大し、正圧電効果を介してその振動がふたたび電極間の電流(モーショナル電流)として外部回路に現れます。この「電圧→機械振動→電流」という往復の結合こそが、水晶発振器を電気回路的な共振素子として扱える理由です。

電気機械アナロジーとバトラー・ヴァンダイク等価回路

水晶板の機械振動は、有効質量 $m$・有効ばね定数 $k$(コンプライアンスの逆数)・機械的な内部損失を表す粘性抵抗 $\zeta$ を持つ、駆動された減衰調和振動子として近似できます。圧電結合によって生じる駆動力 $F(t)$ は印加電界にほぼ比例するため、変位 $x(t)$ の運動方程式は

$$m\,\ddot x + \zeta\,\dot x + k\,x = F(t), \qquad F(t) \propto V(t)$$

と書けます。ここで力-電圧アナロジー(電気機械アナロジーの一種)を使うと、この機械系はそのまま電気回路の言葉に翻訳できます。速度 $\dot x$ を電流 $i$、力 $F$ を電圧 $v$ に対応させると、質量 $m$ はインダクタンス $L_m$ に、コンプライアンス $1/k$ はキャパシタンス $C_m$ に、機械損失 $\zeta$ は抵抗 $R_m$ に、それぞれ対応します(圧電結合係数はこれらの「モーショナル」素子値の中に繰り込まれていると考えます)。つまり振動している水晶板は、外部の電気端子から見ると、直列に接続された $R_m$-$L_m$-$C_m$ という共振回路(モーショナルアーム)として振る舞います。

これに加えて、水晶板そのものは2枚の金属電極に挟まれた誘電体でもあるため、振動の有無にかかわらず物理的に単純な平行平板コンデンサとしての静電容量 $C_0$ を持ちます。この $C_0$ は同じ2つの電極端子間に、モーショナルアームと並列に存在します。

以上をまとめると、水晶振動子を外部端子から見た等価回路は、

$$\underbrace{R_m \text{–} L_m \text{–} C_m \text{(直列)}}_{\text{モーショナルアーム(機械共振)}} \ \ \Big\| \ \ \underbrace{C_0}_{\text{電極間の静電容量}}$$

という形になります。これがバトラー・ヴァンダイク(Butler–Van Dyke)等価回路、通称BVDモデルです。$R_m,L_m,C_m$ が結晶の機械的な共振(質量・剛性・損失)を表す「モーショナル」パラメータであるのに対し、$C_0$ は振動とは無関係な、電極という物理構造そのものに由来する容量である、という区別が重要です。

直列共振と並列共振 — 2つの共振点とQ値

BVDモデルの入力アドミタンスは、モーショナルアームのインピーダンス $Z_m(\omega) = R_m + j\omega L_m + 1/(j\omega C_m)$ を使って

$$Y(\omega) = j\omega C_0 + \frac{1}{Z_m(\omega)}$$

と書けます。損失 $R_m$ を無視した近似($R_m\to0$)でこの式の零点(アドミタンスがゼロになる点、すなわちインピーダンスが発散する点)を求めると、

$$Y(\omega) = j\omega C_0 - \frac{j\,\omega C_m}{\omega^2 L_m C_m - 1} = 0$$

を整理して

$$\omega^2 = \frac{1}{L_m C_m}\left(1+\frac{C_m}{C_0}\right)$$

が得られます。一方、モーショナルアーム単体($C_0$を無視)の共振角周波数は $\omega_s = 1/\sqrt{L_m C_m}$ です。したがって水晶振動子には、周波数の異なる2つの共振点が存在することになります。

$$f_s = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_m C_m}} \qquad (\text{直列共振:} \ Z(\omega)\text{が最小、純抵抗}\ R_m)$$ $$f_p = f_s\sqrt{1+\dfrac{C_m}{C_0}} \approx f_s\left(1+\dfrac{C_m}{2C_0}\right) \qquad (\text{並列共振〔反共振〕:} \ Z(\omega)\text{が最大})$$

(2番目の近似は $C_m \ll C_0$ のときの1次近似 $\sqrt{1+x}\approx1+x/2$ です。)実際の水晶振動子では $C_m/C_0$ の比(容量比)がおおむね $10^{-3}$〜$10^{-4}$ 程度と非常に小さいため、$f_s$ と $f_p$ はごく近接した2つの周波数になります。この $f_s$ と $f_p$ に挟まれた狭い周波数帯域では、水晶振動子のリアクタンスが急峻に(かつ誘導性に)変化し、この急峻な位相-周波数特性こそが発振回路(ピアース発振回路など)の発振周波数を強く安定化させる働きをします。

Q値(共振の鋭さ)は、モーショナルアームだけを見た直列RLC共振回路として、

$$Q = \frac{\omega_s L_m}{R_m} = \frac{1}{\omega_s R_m C_m}$$

で与えられます。水晶が極めて高いQ値(典型的に $10^4$〜$10^6$)を実現できる理由は、この式の分母 $R_m$(機械損失を表す等価抵抗)が石英という結晶固有の性質——真空封止された高品質な結晶では内部摩擦がきわめて小さい——によって非常に小さく抑えられる一方、$L_m$(実効質量に対応)が $C_m$(実効コンプライアンスに対応、圧電結合が弱いため小さな値になりがち)に比べて相対的に大きいためです。これは、電子部品としてのLC共振回路(Qはせいぜい数百程度)や、多くのMEMS共振器と比較しても圧倒的に高い値であり、オシレータの位相雑音の回で見たLeesonモデルの $(f_0/2Q_Lf)^2$ の項に直接効いてくる、位相雑音特性の物理的な土台になっています。

カット角と温度係数 — なぜATカットなのか

石英は三方晶系の異方性結晶であるため、弾性定数や圧電定数は結晶軸に対する方向によって異なります。したがって、水晶の薄片をどの角度で切り出すか(カット角)によって、得られる振動モードの共振周波数の温度依存性がまったく異なるものになります。

慣例として、結晶の光学軸(Z軸)に対して角度 $\theta$ だけ回転させて切り出した薄片を「回転Yカット」と呼び、周波数の温度に対する相対偏差は、基準温度 $T_0$ からのずれ $\Delta T = T-T_0$ のべき級数として

$$\frac{\Delta f}{f_0}(T) = a_1(\theta)\,\Delta T + a_2(\theta)\,\Delta T^2 + a_3(\theta)\,\Delta T^3 + \cdots$$

と展開できます。係数 $a_1(\theta), a_2(\theta), a_3(\theta)$ はいずれもカット角 $\theta$ の関数で、ほとんどの角度では1次係数 $a_1(\theta)$ が無視できない大きさを持ち、周波数は温度に対してほぼ線形に、かつ比較的急峻にドリフトします。

ところが $\theta \approx 35.25°$ 付近では、$a_1(\theta)$ がちょうどゼロを横切ります。この角度で切り出した水晶板では1次の温度係数が消え、さらに好都合なことにこの角度近傍では2次係数 $a_2(\theta)$ も非常に小さいため、残る支配的な項は3次の項 $a_3\,\Delta T^3$ だけになります。3次関数は基準温度 $T_0$(ターンオーバー温度と呼ばれる)の近傍で非常に平坦(勾配がほぼゼロ)であり、$T_0$ からある程度離れてはじめてゆるやかに立ち上がります。この角度で切り出した水晶がATカットです。

$$\left.\frac{d}{dT}\left(\frac{\Delta f}{f_0}\right)\right|_{T=T_0} \approx 0 \qquad (\text{ATカットの設計条件})$$

ATカットのターンオーバー温度 $T_0$ 自体も、カット角をさらに数分角(角度の1/60度)単位で微調整することでずらすことができ、常温付近(TCXO用途)や恒温槽の設定温度付近(OCXO用途、次節参照)に合わせて設計されます。この「1次係数がゼロになる角度を狙って切り出す」という発想が、水晶発振器の温度安定性設計の核心です。なお、より温度特性を追い込んだダブルローテーションカット(ATカットをさらにもう1軸回転させたSCカットなど)も存在しますが、基本原理は同じく「特定の切り出し角度で低次の温度係数を消す」ことにあります。

TCXOとOCXO — 温度補正と恒温槽

ATカットによって1次の温度係数を消しても、3次項に由来する残留の温度依存性(典型的には基準温度から数十℃離れると数ppm〜数十ppm程度の周波数変化)は残ります。これをさらに抑え込む方式には、大きく分けて2通りのアプローチがあります。

TCXO(Temperature Compensated Crystal Oscillator、温度補償型水晶発振器)。 水晶自体の温度は制御せず、代わりに発振器内部の温度センサーが実測した温度をもとに、既知の(あらかじめ測定・記憶された)$\Delta f/f_0(T)$ の残留カーブを打ち消す方向へ、可変容量素子(バラクタダイオード)や周波数補正用のDA変換器によって発振周波数を電気的に引き込みます。数式的には、水晶自体の温度依存偏差を $\varepsilon(T)$、電気的補正量を $c(T)$ とすると、

$$\frac{\Delta f_{\text{out}}}{f_0}(T) = \varepsilon(T) + c(T), \qquad c(T) \approx -\varepsilon(T)$$

となるように $c(T)$ を設計(アナログ回路網、あるいはデジタルのルックアップテーブル+DACで実装)することで、出力周波数の温度依存性を打ち消します。この方式は補正が近似的である(高次の残差や温度センサー自体の応答遅れが残る)ため達成できる安定度には限りがありますが、消費電力が小さく(数mW〜数十mW程度)、暖機時間も不要で、小型・低コストという利点があります。

OCXO(Oven Controlled Crystal Oscillator、恒温槽制御型水晶発振器)。 こちらは電気的な補正ではなく、水晶そのもの(および発振回路の主要部)を、ヒーターとサーモスタット(あるいはPID制御)によって物理的に一定温度——多くはATカットのターンオーバー温度 $T_0$ 付近——に保つ方式です。周囲の環境温度がどう変化しても、水晶が実際に感じる温度が常に $T_0$ 近傍(3次カーブの最も平坦な領域)に固定されるため、$\Delta T\approx0$ を回路的にではなく物理的に維持することになり、

$$\frac{\Delta f}{f_0}(T_{\text{env}}) \approx a_3\,\big(T_{\text{crystal}} - T_0\big)^3, \qquad T_{\text{crystal}} \approx T_0 \ (\text{恒温槽により一定)}$$

という形で、周囲温度 $T_{\text{env}}$ がどう動いても $T_{\text{crystal}}$ をほぼ一定に保つことで残留変化を極小化します。TCXOが「ずれを事後的に補正する」のに対し、OCXOは「そもそもずれさせない」というアプローチであり、達成できる安定度はTCXOより2〜3桁優れます(TCXOがおおむね $10^{-7}$〜$10^{-6}$ オーダーの安定度であるのに対し、OCXOは $10^{-10}$〜$10^{-8}$ オーダー、高性能品では原子時計とUSOの回で見たUSOの $\sigma_y\sim10^{-13}$ に迫る領域に達します)。代償として、恒温槽を一定温度に保つためのヒーター電力が常時必要(定常時で数百mW〜数W)であり、電源投入直後は槽内温度が安定するまでの暖機時間(数分程度)を要し、恒温槽構造そのものによってサイズ・重量・コストもTCXOより大きくなります。

	TCXO	OCXO
安定化の原理	電気的補正(温度センサー+補正回路)	物理的な恒温制御(ヒーター+サーモスタット)
典型的な安定度	$10^{-7}$〜$10^{-6}$ 程度	$10^{-10}$〜$10^{-8}$ 程度
消費電力	数mW〜数十mW	定常時で数百mW〜数W
暖機時間	ほぼ不要	数分程度必要
サイズ・コスト	小型・低コスト	大型・高コスト

実務での使われ方

• 探査機搭載USOはOCXO方式が主流です。 原子時計とUSOの回で扱ったUSOの $\sigma_y\sim10^{-13}$ という安定度は、まさに本稿で見たATカット水晶を恒温槽に収めたOCXO構成によって達成されています。TCXOでは桁が2〜3桁足りず、逆に本格的な原子周波数標準(水素メーザーやセシウム標準)は探査機に載せるには重すぎる、という中間点にOCXOが位置しています。
• なぜ探査機は原子時計を積まないのか。 地上局のDSN局が使う水素メーザーは、冷蔵庫サイズの筐体・数十kg以上の質量・数十W級の消費電力を要する大型装置です。探査機の質量・電力予算は数kg・数Wのオーダーで議論されることも珍しくなく、水素メーザー級の安定度($\sigma_y\sim10^{-15}$)を得るコストは到底見合いません。また、原子時計とUSOの回で見たように、コヒーレント(Two-way/Three-way)ドップラー運用では探査機は受信した地上局の基準信号をそのまま位相同期させて折り返す(トランスポンダとしてふるまう)ため、探査機自身が絶対的に高精度な周波数基準を持つ必要すらありません。USOが主に効いてくるのは、太陽合などでコヒーレントリンクが維持できずOne-wayモードに切り替わる限られた局面であり、この用途に対してはOCXO級の安定度で十分に実用的、というのが設計判断の背景です。GPS/Galileo衛星がルビジウムやセシウムの原子時計を搭載しているのとは対照的に、深宇宙探査機の多くが水晶OCXOで済ませているのは、要求される安定度・質量電力制約・ミッションコストのバランスが地球周回の測位衛星とは大きく異なるためです。
• 規格と仕様書。 水晶振動子・発振器の構成方程式や測定法はIEEE Std 176(IEEE Standard on Piezoelectricity)に、OCXO/TCXOを含む結晶発振器の環境試験・性能仕様は米軍規格MIL-PRF-55310(Oscillators, Crystal, General Specification For)に規定されています。DSN側の周波数基準系の要求仕様はDSN Telecommunications Link Design Handbook (810-005)に記載されており、探査機USOの安定度スペックはこの地上局側の基準やPLLループの追尾性能と整合するように、ミッション設計段階で決定されます。
• カット角の選択は用途で変わります。 ATカットは広い温度範囲で安定な基本波・オーバートーンの水晶振動子として最も広く使われますが、より厳しい要求(高周波数安定度、加速度・振動感度の低減)にはSCカット(ダブルローテーションカット)が使われることもあります。いずれも本稿で見た「特定の切り出し角度で低次の温度係数を消す」という同じ物理原理の応用です。

演習問題

1. あるATカット水晶振動子のモーショナルパラメータが $L_m = 100\ \text{mH}$、$C_m = 2.5\ \text{fF}$、$R_m = 20\ \Omega$、電極間容量 $C_0 = 4\ \text{pF}$ であるとする。直列共振周波数 $f_s$、Q値、および並列共振周波数 $f_p$ と $f_s$ の差 $f_p - f_s$ を求めよ。
2. 本文中で示した近似式 $f_p \approx f_s(1+C_m/2C_0)$ を、$\sqrt{1+x}\approx1+x/2$($x\ll1$)という1次近似を使って、$f_p = f_s\sqrt{1+C_m/C_0}$ の式から導出せよ。また、なぜ容量比 $C_m/C_0$ が小さいほど「発振回路として使える急峻な周波数帯域」が狭くなるのか、直感的に説明せよ。
3. あるATカット水晶の残留温度係数が $a_3 \approx 1\times10^{-10}\ {}^\circ\text{C}^{-3}$、ターンオーバー温度が $T_0=25\,{}^\circ\text{C}$ であるとする。環境温度が $T_0$ から $\pm40\,{}^\circ\text{C}$ 変化したとき($T=-15\,{}^\circ\text{C}$ および $T=65\,{}^\circ\text{C}$)、公称周波数からの相対偏差 $\Delta f/f_0$ をppm単位で求めよ。この結果をもとに、OCXOが恒温槽によって $T_{\text{crystal}}\approx T_0$ を維持することがどれほど有効か論じよ。
4. 探査機がOne-wayドップラーモードで運用中、USOをOCXOからTCXOに置き換えるとどのような影響が生じるか。本文中の安定度の桁差(TCXO: $10^{-7}$〜$10^{-6}$、OCXO: $10^{-10}$〜$10^{-8}$)と、原子時計とUSOの回で導いた速度誤差の近似式 $\sigma_v \sim c\,\sigma_y$ を踏まえて、ドップラー速度計測精度への影響を定性的・定量的に説明せよ。

まとめと次回予告

この回では、オシレータの位相雑音と原子時計とUSOの2回で「揺らぎの測り方」として扱ってきた発振器そのものの中身に踏み込み、水晶発振器が圧電効果によって機械共振を電気信号に変換する仕組みを見ました。圧電体の構成方程式から出発し、電気機械アナロジーを通じてバトラー・ヴァンダイク等価回路(直列モーショナルアーム $R_m$-$L_m$-$C_m$ と並列容量 $C_0$)を導き、直列共振 $f_s$ と並列共振 $f_p$ という近接した2つの共振点が極めて高いQ値($10^4$〜$10^6$)を生む理由を数式で確認しました。さらに、結晶のカット角によって温度係数の低次項を消せること、なかでもATカットが1次係数をゼロにする設計であること、そしてTCXO(電気的補正)とOCXO(恒温槽制御)という2つの安定化アプローチのトレードオフを見て、探査機搭載USOが多くの場合OCXO方式を採用する理由——原子時計級の安定度は必要とせず、質量・電力の制約が厳しい——を確認しました。

これで、変調方式(PCM/PSK/PM)から受信機の追尾(PLL)、そして周波数基準そのものの物理まで、深宇宙リンクを支える主要な構成要素を一通り見てきたことになります。次回は少し趣向を変えて、通信の秘匿性・耐干渉性を高める技術として、通常のPN符号による拡散変調とは異なるカオス拡散通信(カオス力学系が生成する非周期的な波形を拡散符号として使う方式)に軽く触れ、拡散通信技術のもう一つの切り口を紹介する予定です。

参考文献

• IEEE Std 176-1987, IEEE Standard on Piezoelectricity
• J. R. Vig, Quartz Crystal Resonators and Oscillators For Frequency Control and Timing Applications — A Tutorial, US Army Communications-Electronics Research, Development and Engineering Center
• W. G. Cady, Piezoelectricity: An Introduction to the Theory and Applications of Electromechanical Phenomena in Crystals, McGraw-Hill
• E. A. Gerber and A. Ballato (eds.), Precision Frequency Control, Vol. 1–2, Academic Press
• MIL-PRF-55310, Performance Specification: Oscillators, Crystal, General Specification For
• DSN Telecommunications Link Design Handbook, DSN No. 810-005(周波数・時刻基準系に関するモジュール)