システム・運用#44

クライストロンとTWTA — 電子ビームで電波を高出力に増幅する送信管の物理

受信側のLNAが微弱な信号をいかに静かに増幅するかの話だったのに対し、送信側は数十kWから数Wまで、電力そのものをいかに効率よく作り出すかが課題になる。クライストロンの速度変調・バンチングと、TWTAの遅波回路による連続的なエネルギー伝達を数式で追い、APSKの回で見た非線形歪みの物理的起源を送信管の内部構造から理解する。

TWTAクライストロン送信管非線形増幅器進行波管

この回で学ぶこと

これまでの回では、受信機の初段に置かれるLNA(Low Noise Amplifier、低雑音増幅器)が、数億km彼方から届く $10^{-16}$ W オーダーの微弱な信号に、いかに余計な雑音を付け加えずに増幅するかという「静けさ」の設計を扱ってきました。しかし通信リンクにはもう一方の端、つまり送信側があります。地上局はその微弱信号を宇宙空間の彼方まで届けるために、逆に途方もない電力を電波として叩き出す必要がありますし、探査機の側もまた、限られた太陽電池・原子力電池の電力予算の中から、できるだけ効率よく電波エネルギーを作り出さなければなりません。

この「電力そのものを作り出す」仕事を担うのが、地上局ではクライストロン(klystron)、探査機搭載機では多くの場合**進行波管増幅器(TWTA: Traveling Wave Tube Amplifier)**と呼ばれる、真空管の一種です。半導体アンプ(トランジスタ)がマイクロ波帯・数十kW級の電力でうまく動作しないのに対し、これらの管は電子ビームを真空中で加速・変調し、そのビームの運動エネルギーを直接マイクロ波のエネルギーに変換するという、全く別の原理で動作します。

この回では、なぜマイクロ波の高出力増幅には特殊な真空管が必要なのか、クライストロンとTWTAがそれぞれどういう物理過程で電子ビームのエネルギーを電波に変換しているのかを、速度変調・バンチング(電子群の集群化)・遅波回路(スローウェーブ構造)という3つのキーワードに沿って数式で追います。そして、APSKの回で「TWTAの非線形性」として天下り的に扱ったAM/AM・AM/PM歪みとSalehモデルが、実はこの送信管内部の電子ビームの飽和的なふるまいそのものから生じていることを、物理の言葉で結びつけます。

直感的な導入

なぜ普通のトランジスタ増幅器を巨大にして使えばよい、というわけにいかないのでしょうか。理由はマイクロ波の周期の短さにあります。Xバンド(8.4 GHz)の1周期はおよそ $119$ ピコ秒しかありません。半導体素子や従来型の真空管(三極管など)では、電極間を電子が走り抜ける時間(走行時間、transit time)がこの周期に対して無視できなくなり、素子としての利得や効率が急激に劣化してしまいます。またkW級の電力を半導体接合や真空管の格子(グリッド)に集中させると、熱で壊れてしまいます。

クライストロンとTWTAはどちらもこの問題を回避するために、電極で電流を直接制御する代わりに、真空中を飛ぶ電子ビームの「速度」をマイクロ波でわずかに揺さぶり、その揺らぎが自然に電子の密度分布(バンチ、群れ)に育つのを待ってから、そのエネルギーを取り出すという、共通のアイデアに立っています。これらは「線形ビーム管(linear-beam tube)」または「O型管」と呼ばれる管の族に属します。両者の違いは、この速度変調とエネルギー抽出を、離散的な共振空洞で行うか(クライストロン)、**連続的な進行波構造で行うか(TWTA)**という一点に集約されます。

数式定式化1: クライストロンの速度変調

クライストロンの電子銃は、直流の加速電圧 $V_0$ で電子を静止状態から加速します。非相対論的な運動エネルギーの式から、電子の速度は

\frac{1}{2}mv_0^2 = eV_0 \qquad\Longrightarrow\qquad v_0 = \sqrt{\frac{2eV_0}{m}}

で与えられます( $e$ , $m$ は電子の電荷・質量)。この一様速度の電子ビームが、最初の共振空洞(バンチャ空洞)のギャップを通過します。ギャップには増幅したい入力RF信号による交流電圧 $v_1(t) = V_1 \sin(\omega t)$ がかかっており、ギャップの通過時間が信号周期に比べて十分短いと仮定すると(狭ギャップ近似)、時刻 $t_0$ にギャップを通過した電子は、そのタイミングでの瞬間的な電圧 $V_1\sin\omega t_0$ の分だけ余分に加速・減速されます。

\frac{1}{2}mv(t_0)^2 = e\big(V_0 + V_1\sin\omega t_0\big) \qquad\Longrightarrow\qquad v(t_0) = v_0\sqrt{1+\frac{V_1}{V_0}\sin\omega t_0}

$V_1 \ll V_0$ (RF電圧が加速電圧よりずっと小さい、小信号条件)であれば、平方根を1次までテイラー展開でき、

v(t_0) \approx v_0\left[1 + \frac{V_1}{2V_0}\sin\omega t_0\right]

という近似式が得られます。これが**速度変調(velocity modulation)**です。ギャップを通過する時刻によって、電子は $v_0$ を中心にわずかに速い、あるいは遅い速度を持って送り出されることになります。重要なのは、この段階ではまだ電流(電子の密度)自体は変調されておらず、あくまで速度だけが揺らいでいるという点です。

数式定式化2: ドリフト空間でのバンチングと出力エネルギー抽出

速度変調を受けた電子群は、バンチャ空洞のあとに続くドリフト空間(電界のない自由飛行区間、長さ $L$ )を進みます。ここで「速い電子は先行する遅い電子に追いつく」という単純な事実が、決定的な役割を果たします。

時刻 $t_0$ にバンチャを出た電子が距離 $L$ に到達する時刻は、速度 $v(t_0)$ でほぼ一定として $t = t_0 + L/v(t_0)$ で近似できます。 $1/v(t_0) \approx (1/v_0)\left[1-\frac{V_1}{2V_0}\sin\omega t_0\right]$ と1次近似すると、

t \approx t_0 + \frac{L}{v_0}\left[1-\frac{V_1}{2V_0}\sin\omega t_0\right]

$\sin\omega t_0$ が正(加速された電子)のとき到達時刻は前倒しになり、負(減速された電子)のとき後ろ倒しになります。つまり、後から出た「速い」電子が先に出た「遅い」電子に時間軸上で追いつき、ドリフト空間の途中で電子密度が周期的に濃淡を持つようになります。これがバンチング(bunching, 電子群の集群化)です。この集群化の進み具合は、無次元のバンチングパラメータ

X = \frac{\omega L}{v_0}\cdot\frac{V_1}{2V_0}

でまとめられます。ドリフト距離 $L$ を通過し終えたときの電子ビーム電流のRF基本波成分(フーリエ級数の第1調波)の振幅は、この弾道的なバンチング理論(Applegateダイアグラムによる解析)から、第1種ベッセル関数を使って

I_1 = 2I_0\, J_1(X)

と表されることが知られています( $I_0$ は直流ビーム電流)。 $J_1(X)$ は $X\approx 1.84$ で最大値 $J_1(1.84)\approx 0.582$ を取るため、ドリフト長 $L$ と駆動電力をこの最適値付近に設計したとき、RF基本波電流成分が最大になります。ここまでで、入力RF信号によって作られた「速度の揺らぎ」が、ドリフト空間を通じて「電流の揺らぎ」へと姿を変えたことになります。

集群化した電子ビームは、次に出力空胴(キャッチャ空洞)のギャップを通過します。ここでは逆に、バンチした電流 $I_1\cos\omega t$ が空洞の共振電界を誘起し、その電界が電子を減速させる向きに働くように空洞を同調させます。電子は運動エネルギーを空洞のRF電界に受け渡しながら通過するため、正味としてビームの直流エネルギーがRFエネルギーへと変換されます。1段の増幅で得られる電力利得は非常に大きく(バンチャ・キャッチャ間に複数の中間空洞を追加した多空胴クライストロンでは、段階的にバンチングを強化することで単一の管で $40$ 〜 $60$ dB もの利得を実現できます)、一方で共振空洞を使うがゆえに動作帯域幅は狭く(比帯域で1%前後)なるという制約を伴います。電子ビームの直流電力に対するRF出力電力の比である電子効率は、多空胴クライストロンで概ね $40$ 〜 $70\%$ 程度に達します。

数式定式化3: TWTAの遅波回路と位相速度整合

クライストロンが「離散的な空洞での速度変調→ドリフトでのバンチング→離散的な空洞でのエネルギー抽出」という3段階を踏むのに対し、TWTAはこの速度変調とエネルギー抽出を進行波との連続的な相互作用として、管の全長にわたって同時に行います。

鍵になるのは、電磁波と電子ビームの**位相速度の同期(シンクロニズム)**です。電子ビームの速度 $v_0$ は加速電圧が数kV〜数十kVのオーダーであるため光速 $c$ のたかだか数十%程度にしかならず(たとえば $V_0=4$ kV なら $v_0/c \approx 0.125$ )、自由空間を伝わる電磁波の位相速度 $c$ とは全く釣り合いません。電子ビームがRF波の電界から一方的に押されたり引かれたりするだけで、継続的にエネルギーを渡すことができないのです。

そこでTWTAは、電磁波の位相速度を人工的に遅くする遅波回路(slow-wave structure)を使います。もっとも代表的なのが導線をらせん状に巻いたヘリックスです。ヘリックスに沿って導線上を伝わる信号自体はほぼ光速 $c$ で進みますが、電磁波が実際に軸方向(電子ビームの進行方向)に進む速度は、らせん1巻きあたりの軸方向の進み(ピッチ $p$ )と、らせんの円周 $\pi D$ ( $D$ : ヘリックス直径)の比で決まります。ピッチ角を $\psi = \arctan\!\big(p/(\pi D)\big)$ とすると、単純な正規モード近似で

v_p \approx c\sin\psi \approx c\,\frac{p}{\pi D} \qquad (\psi \ll 1)

という近似式が得られます。ヘリックスをきつく巻く(ピッチ角を小さくする)ほど、軸方向の実効的な位相速度 $v_p$ は光速よりずっと小さくなります。TWTAの設計では、この $v_p$ が電子ビーム速度 $v_0$ に一致するように、加速電圧 $V_0$ とヘリックス寸法を合わせ込みます。

v_p \approx v_0 = \sqrt{\frac{2eV_0}{m}}

これがシンクロニズム条件です。この条件が満たされると、電子はほぼ一定の位相でRF波の電界を感じ続けることになり、進行波の電界がビームの通過に沿ってずっと同じ位相関係で速度変調をかけ続けられます。

数式定式化4: Pierceの利得理論と、飽和で生じる非線形歪み

シンクロニズムのもとで電子ビームが受ける速度変調は、クライストロンのバンチャと同じ物理でバンチを作り始めます。ただしTWTAでは、生じたバンチ電流が今度は連続的に進行波自体を強めるように働き、強まった波がさらに強くビームを変調する、という正のフィードバックが管の全長にわたって働き続けるため、RF信号の振幅は管に沿って指数関数的に成長していきます。

この小信号理論を定式化したのが1950年前後のJ. R. Pierceの解析です。ビーム電流 $I_0$ 、ビーム電圧 $V_0$ 、そして遅波回路の相互作用インピーダンス $Z_0$ を使って、無次元の利得パラメータ $C$ を

C^3 = \frac{I_0 Z_0}{4V_0}

と定義します(典型的な値は $C \approx 0.01$ 〜 $0.1$ )。Pierceの結合波理論では、この $C$ を使って進行波の空間的な成長率が求まり、実用上よく引用される小信号利得の近似式は

G_{\text{dB}} = -9.54 + 47.3\, C\, N

という形にまとめられます。ここで $N$ は遅波回路の長さを信号波長数で数えた実効長です( $N = L/\lambda_{\text{circuit}}$ )。定数項 $-9.54$ dB は入力での波の分配損(進行波は同時に成長波・減衰波・非伝搬波の3つの固有モードに分かれて出発するため、そのうち成長モードに乗る分だけが実際に増幅される)を表し、 $47.3\,C$ dB/波長という項が指数関数的な利得の伸びを表します。クライストロンが共振空洞による狭帯域・高利得なのに対し、TWTAは非共振の進行波構造であるがゆえに、比較的広い帯域( $1$ GHz前後、比帯域で数%〜10%程度)にわたって滑らかな利得特性を持つのが特徴です。

飽和とAM/AM・AM/PM歪みの物理的起源

ここまでは信号が十分小さい小信号領域での話でした。入力RF電力を増やしていくと、バンチングパラメータ $X$ (あるいはTWTAでの対応する成長パラメータ)は最適値に近づき、 $J_1(X)$ が最大になる付近まで電子群がタイトに集群します。しかし、さらに入力を増やすと何が起きるでしょうか。

クライストロンで言えば、 $X$ が最適値 $1.84$ を超えて大きくなると、電子は集群し過ぎて互いに追い越し始め、 $J_1(X)$ はむしろ減少に転じます。TWTAで言えば、進行波にエネルギーを渡し続けた電子ビームは平均速度を落としていき、当初 $v_0\approx v_p$ で保たれていたシンクロニズム条件が崩れ、電子が波に対して位相的に遅れ始めます。同期が崩れた電子は効率よくエネルギーを渡せなくなり、それどころか一部は波からエネルギーを奪い返す(減速ではなく加速される)側に回ってしまいます。

これが、APSKの回で扱ったAM-AM歪み(入力振幅を上げても出力振幅がそれに比例せず頭打ちになり、やがて飽和・減少に転じる)の物理的な起源です。すなわちAM-AM圧縮特性とは、電子ビームの速度変調→バンチング→エネルギー抽出という一連の過程が、駆動電力が過大になると自身の前提条件(小信号近似、シンクロニズム)を壊してしまうことの現れです。

同時に、駆動電力が大きくなるとビーム電子の平均速度が低下し、電界とビームの位相関係(実効的な結合位相)も変化します。これが出力信号の位相を入力振幅に応じて余分にずらすAM-PM歪み(位相プッシング, phase pushing)として現れます。APSKの回で導入したSalehモデル

A_{\text{out}}(r) = \frac{\alpha_a\, r}{1+\beta_a\, r^2}, \qquad \Phi_{\text{out}}(r) = \frac{\alpha_\phi\, r^2}{1+\beta_\phi\, r^2}

は、この速度変調・バンチング・シンクロニズム崩壊という電子ビームの物理過程全体を、測定データにフィットする2つの経験的な有理関数で丸ごと近似したものだと理解できます。 $\beta_a$ はバンチングの過集群化・シンクロニズム崩壊による圧縮の強さを、 $\beta_\phi$ はビーム減速に伴う位相プッシングの強さを、それぞれ間接的に反映するパラメータです。物理モデルから直接 $\alpha_a,\beta_a,\alpha_\phi,\beta_\phi$ を予言するのは容易ではありませんが、少なくとも「なぜTWTAやクライストロンが、この形の非線形性を示すのか」という問いへの答えは、ここまで見てきた電子ビームの集群化・同期崩壊の物理そのものにあります。

実務での使われ方

地上局側: DSNの高出力送信機。 NASA/JPLのDSN(Deep Space Network)局は、アップリンク(探査機への送信)に代表的に $20$ kW級のクライストロン増幅器を標準的に搭載しています。惑星探査機との通常運用ではこれで十分ですが、ゴールドストーン太陽系レーダーのような地上局発の電波を天体に反射させて往復させる観測(惑星レーダー)では、より大きな自由空間伝搬損失を補うために数百kW級の大出力クライストロン送信機が使われます。クライストロンが地上局側で好まれる理由は明快で、比帯域が狭くても構わない(送信周波数は固定でよい)一方、 $40$ 〜 $60$ dB という大利得と高い電子効率によって、限られた設置面積・冷却能力の中で最大限の実効輻射電力(EIRP)を稼げるためです。

探査機側: TWTAの電力効率とバックオフ運用。 探査機に搭載されるTWTAのRF出力は、太陽電池・原子力電池からの限られた電力予算を反映して、代表的にはXバンドで数W〜100W級という桁に収まります。TWTAのDC-RF変換効率(電子効率に、ヘリックス収集効率などを掛け合わせた総合効率)は、飽和点付近で動作させたとき $50$ 〜 $65\%$ 程度に達する製品が一般的で、これは同クラスの固体素子増幅器(SSPA)より高効率になることが多く、探査機搭載機としてTWTAが今なお選ばれ続ける最大の理由になっています。

一方で、この効率のピークは飽和点(saturation point)そのもの、あるいはそのすぐ近くにあります。前節で見た通り、飽和点付近では電子ビームのバンチングが過集群化・同期崩壊の限界に近づいており、AM-AM圧縮とAM-PM位相プッシングが顕著になる領域でもあります。したがって運用上は、次の2つの要求のバランスを取る必要があります。

効率を最大化したい: 飽和点により近い高い駆動レベルで動作させたい(バックオフを小さくしたい)。
線形性を確保したい: 振幅変動を伴う変調方式(高次QAM、多値APSKなど)や、厳しいスペクトルマスク規定を満たすには、飽和点からある程度離れた(入力バックオフ, Input Back-Off = IBO、または出力側で測った出力バックオフ, OBO)、より線形な領域で動作させたい。

QPSK/OQPSKの回・APSKの回で見たように、定包絡線に近いBPSK/QPSK/OQPSKであれば、ほぼ飽和点(IBOにして $0$ 〜 $1$ dB程度)で運用しても許容できる歪みに収まりますが、振幅変動の大きい16APSKや32APSKでは数dBのバックオフが必要になり、その分だけTWTAの実効的なDC-RF効率は数〜十数ポイント低下します。探査機のリンク設計・電力設計では、この「変調方式が要求するバックオフ量」と「TWTAの効率-バックオフ曲線」を突き合わせ、目標のデータレートとBERを満たす最小限のバックオフ(すなわち最大限の効率)を選ぶという最適化が行われます。

演習問題

加速電圧 $V_0 = 20$ kV、バンチャ空洞のRF電圧振幅 $V_1 = 300$ V のクライストロンについて、速度変調の相対的な深さ $V_1/(2V_0)$ を求めてください。またこの値が「小信号近似( $V_1 \ll V_0$ )」として妥当かどうかを論じてください。
Pierceの利得式 $G_{\text{dB}} = -9.54 + 47.3\,C\,N$ を用いて、利得パラメータ $C = 0.025$ 、遅波回路の実効長 $N = 25$ 波長のTWTAの小信号利得をdBで求めてください。
ヘリックスの位相速度近似式 $v_p \approx c\sin\psi$ を用いて、加速電圧 $V_0 = 3$ kV の電子ビームとシンクロニズムを取るために必要なピッチ角 $\psi$ を求めてください(電子速度は $v_0 = \sqrt{2eV_0/m}$ 、 $e/m \approx 1.76\times10^{11}$ C/kg を使うこと)。
なぜTWTAの効率のピークは飽和点付近にあるにもかかわらず、探査機の実際の運用では飽和点から数dBバックオフして動作させることが多いのか。この回で学んだ電子ビームのバンチング・シンクロニズム崩壊の物理と、APSKの回で学んだ変調方式ごとの振幅変動(PAPR)の違いを踏まえて、自分の言葉で説明してください。

まとめと次回予告

クライストロンとTWTAは、どちらも「電子ビームの速度をRF信号でわずかに揺さぶり、その揺らぎがドリフト空間や進行波構造の中で電子密度のバンチへと育つのを待ち、バンチが持つ運動エネルギーを電界から回収してRF出力に変える」という共通の原理に立つ、線形ビーム管の仲間です。クライストロンは離散的な共振空洞でこれを行うため狭帯域・超高利得・高効率で、地上局の数十kW級送信機に向いています。TWTAはヘリックスなどの遅波回路で電磁波の位相速度を電子ビーム速度に同期させ、管の全長にわたって連続的にエネルギーを受け渡すため、広帯域かつコンパクトで、探査機搭載機に適しています。そして、APSKの回で扱ったAM-AM・AM-PM非線形歪みは、この電子ビームのバンチングが駆動電力の増大とともに過集群化し、シンクロニズムが崩れていく物理過程そのものから生じていることを見ました。

次回は視点をさらに広げ、この送信管を含めて探査機に搭載される送受信機一式 — アンテナ、ダイプレクサ、LNA、送信管、周波数変換系などをどう組み合わせて1つの探査機RFフロントエンドとして設計するのか、その全体構成を扱います。

参考文献

A. S. Gilmour Jr., Klystrons, Traveling Wave Tubes, Magnetrons, Crossed-Field Amplifiers, and Gyrotrons, Artech House
J. R. Pierce, Traveling-Wave Tubes, D. Van Nostrand, 1950
A. A. M. Saleh, “Frequency-Independent and Frequency-Dependent Nonlinear Models of TWT Amplifiers,” IEEE Transactions on Communications, vol. 29, no. 11, 1981
DSN Telecommunications Link Design Handbook, DSN No. 810-005(Uplink Tracking, Telemetry, and Command / Transmitter Systemsに関するモジュール)
J. H. Yuen (ed.), Deep Space Telecommunications Systems Engineering, JPL Publication 82-76
J. R. Wertz, D. F. Everett, J. J. Puschell (eds.), Space Mission Engineering: The New SMAD