SpaceLesson

測距・追跡#133

合成開口レーダー(SAR)基礎 — 移動する衛星が作る仮想的な巨大アンテナ

衛星に積める物理的なアンテナは小さく、実開口レーダーでは地表の細かい地形を分解できない。軌道上の移動経路そのものを仮想的な巨大アンテナとして使うSARの原理を、ドップラーヒストリーへの整合フィルタ処理(アジマス圧縮)として定式化し、方位分解能が実アンテナサイズの半分になるという驚くべき結果を導く。

前提知識: 整合フィルタ — 受信SNRを最大化する最適フィルタの理論

SAR合成開口レーダーアジマス圧縮ドップラーパルス圧縮

この回で学ぶこと

レーダー高度計の回では、探査機自身が搭載する送受信機で、自分の真下にある天体表面までの距離(高度)をFMCW方式で測る方法と、その距離分解能が送信帯域幅 BB によって ΔR≈c/(2B)\Delta R \approx c/(2B) と決まることを見ました。しかし惑星探査機や地球観測衛星の重要な任務の1つは、単に自分の真下までの距離を測ることではなく、地表面を画像として写し取ることです。地表を画像化するには、距離方向(レンジ方向)の分解能だけでなく、進行方向に対して横切る方向——クロスレンジ方向、レーダー用語ではアジマス方向——の分解能も必要です。

ところが、このアジマス方向の分解能には、電波を使う限り避けられない物理的な壁が立ちはだかります。アンテナのビーム幅は開口(アンテナ)のサイズに反比例するため、衛星に搭載できる程度の小さなアンテナでは、地表を照らすビームがどうしても広がってしまい、地表の細部を見分けることができません。この回では、まずこの「実開口レーダーの分解能限界」を数式で確認したうえで、合成開口レーダー (Synthetic Aperture Radar, SAR) が、衛星が軌道上を移動しながら連続的に電波を送受信するという事実そのものを逆手に取り、移動経路全体を「仮想的な巨大アンテナ」として扱うことで、この壁を突破する仕組みを見ていきます。

鍵となるのは、整合フィルタの回で学んだ整合フィルタ理論です。SARでは、衛星が地表のある点に近づいたり遠ざかったりする際に生じるドップラーシフトの時間変化パターン——それ自体が1つのチャープ(周波数が時間とともに変化する)信号になっている——に対して整合フィルタ処理を施すことで、実際のアンテナサイズをはるかに超える角度分解能を人工的に「合成」します。この処理をアジマス圧縮と呼びます。最終的に、レンジ方向の分解能(帯域幅で決まる)とアジマス方向の分解能(合成開口で決まる)を組み合わせることで、2次元の地表画像が形成される全体像までを追います。

直感的導入: なぜ小さなアンテナでは地表の細部が見えないのか

懐中電灯で壁を照らす場面を想像してください。懐中電灯のレンズ(開口)が小さいと、光は広い範囲にぼんやりと広がって当たります。逆にレンズが大きいほど、光は鋭く絞られた細いビームになります。これは光に限らず、あらゆる波動現象に共通する回折の性質で、電波を送受信するアンテナにも同じことが起こります。開口サイズ DD のアンテナが放射・受信できるビームの角度幅(ビーム幅)θbeam\theta_{\text{beam}} は、おおよそ

θbeam≈λD\theta_{\text{beam}} \approx \frac{\lambda}{D}

という関係で、波長 λ\lambda に比例し、開口サイズ DD に反比例します。アンテナ自動追尾の回やフェーズドアレイの回で見た θ3dB≈70λ/D\theta_{3\text{dB}}\approx70\lambda/D(度単位、係数は照射分布に依存)も本質的に同じ物理を表す式でした。

レーダーが地表を照らすとき、このビーム幅の角度が、衛星から地表までの距離(スラントレンジ)RR の分だけ拡大されて、地表面上の実際の照射幅(フットプリント)になります。

δaz,real≈R θbeam≈RλD\delta_{\text{az,real}} \approx R\,\theta_{\text{beam}} \approx \frac{R\lambda}{D}

この δaz,real\delta_{\text{az,real}} が、実開口レーダー(移動を利用しない、素朴な意味でのレーダー)がアジマス方向で識別できる最小の地表構造のサイズ、つまりアジマス分解能です。ここで問題が見えてきます。惑星探査機に搭載できるアンテナの開口サイズは、せいぜい数メートル程度です。一方で軌道高度(距離 RR)は数百km、波長 λ\lambda もマイクロ波帯では数cm程度あります。この3つの数字を上の式に入れると、驚くほど分解能が悪化することが分かります。

数値例。 金星探査機マゼランを念頭に、軌道高度(スラントレンジ)R≈300 kmR\approx 300\ \text{km}、S帯の波長 λ≈12.6 cm\lambda\approx 12.6\ \text{cm}、搭載アンテナの開口径 D≈3.7 mD\approx 3.7\ \text{m} としましょう。

δaz,real≈RλD=(3×105 m)(0.126 m)3.7 m≈1.0×104 m=10 km\delta_{\text{az,real}} \approx \frac{R\lambda}{D} = \frac{(3\times10^5\ \text{m})(0.126\ \text{m})}{3.7\ \text{m}} \approx 1.0\times10^4\ \text{m} = 10\ \text{km}

アジマス方向の分解能がおよそ10kmしかない、という結果です。地質学的に意味のある地形(クレーター、断層、火山構造など)を判別するには、これでは全く不十分です。実開口のまま高分解能を得ようとすると、DD を大きくするしかありませんが、金星表面全体を数百m〜数十mの分解能で見るために必要な開口サイズは、単純計算で数百m〜数kmに達し、宇宙機に搭載できる規模をはるかに超えてしまいます。ここに、実開口レーダーの原理的な限界があります。

SARの基本アイデア: 移動経路を仮想的な巨大アンテナとして使う

実開口を大きくできないなら、発想を変えます。衛星は軌道上を高速で移動しながら、レーダーパルスを連続的に(たとえば毎秒数百〜数千回)送受信しています。ある1つの地表の点に着目すると、その点は衛星が接近してから遠ざかるまでの間、ビームの中に入り続けている時間だけ、繰り返しレーダーに「見られて」いることになります。

SARの中心的なアイデアは、この一連の受信パルス群を単純に足し合わせるのではなく、位相情報を保持したままコヒーレントに(振幅と位相の両方をそろえて)組み合わせて処理することで、あたかも「衛星が移動した経路の全長に及ぶ、1本の巨大な物理アンテナで受信した」のと等価な結果を作り出す、という点にあります。この仮想的な開口を合成開口 (synthetic aperture) と呼びます。

合成開口の長さ

ある地表の点が実アンテナのビームに照らされ続ける時間(そしてその間に衛星が移動する距離)を考えましょう。地表のフットプリント長は前節で求めた δaz,real≈Rλ/D\delta_{\text{az,real}} \approx R\lambda/D ですから、衛星がこの距離を通過する間、その地表点はずっとビーム内にあり続けます。つまり合成開口の長さ LsynL_{\text{syn}} は、実開口のビームがその点を照らし続ける間に衛星が移動する距離にほかならず、

Lsyn≈R θbeam≈RλDL_{\text{syn}} \approx R\,\theta_{\text{beam}} \approx \frac{R\lambda}{D}

となります(これは奇しくも実開口方式でのフットプリント長 δaz,real\delta_{\text{az,real}} と同じ式ですが、意味はまったく異なります——こちらは「衛星がその点を見続ける区間の長さ」、すなわちこれから合成する仮想アンテナの物理的な長さです)。衛星の速度を vv とすると、この区間を通過するのにかかる時間(アパーチャ時間、あるいは滞留時間)は、

Tsyn=Lsynv≈RλDvT_{\text{syn}} = \frac{L_{\text{syn}}}{v} \approx \frac{R\lambda}{Dv}

この TsynT_{\text{syn}} 秒間に受信される一連のパルスすべてを、後段の信号処理でコヒーレントに合成することで、開口長 DD をはるかに超える LsynL_{\text{syn}} という「仮想アンテナ」を作り出すのが、SARの基本戦略です。ただし、これを実現するには、衛星の軌道位置と送受信のタイミングを高精度に把握し、各パルスの受信位相を正しく保持・記録し続けなければなりません——これは実開口アンテナで単に信号を積分するのとはまったく異なる、能動的な信号処理を要求します。次節で、その処理の中身を見ていきます。

ドップラーヒストリーとアジマス圧縮

地表の1点から見たドップラーシフトの時間変化

衛星が速度 vv で直線的に移動しながら、地表のある固定点(最接近時のスラントレンジを RR とする)にレーダーパルスを送り続けているとします。時刻 t=0t=0 で衛星がその点に最も近づく(ブロードサイド)瞬間だとすると、時刻 tt における衛星からその点までのスラントレンジは、幾何学的に

r(t)=R2+v2t2r(t) = \sqrt{R^2 + v^2t^2}

です。∣vt∣≪R|vt| \ll R(合成開口内では十分成り立つ近似)とすると、二項展開により

r(t)≈R+v2t22Rr(t) \approx R + \frac{v^2t^2}{2R}

このレンジの時間変化率(レンジレート)は、

r˙(t)=drdt≈v2tR\dot r(t) = \frac{dr}{dt} \approx \frac{v^2 t}{R}

電波は往復するので、受信信号に生じるドップラー周波数シフトは、送信波長 λ\lambda を使って

fd(t)=−2λr˙(t)≈−2v2λR tf_d(t) = -\frac{2}{\lambda}\dot r(t) \approx -\frac{2v^2}{\lambda R}\,t

という形になります(符号は接近時に正、離脱時に負となるよう取っています)。この式が意味することは重要です。ドップラー周波数 fd(t)f_d(t) は時間 tt に比例して直線的に変化する——これはまさに、整合フィルタの回やパルス圧縮の文脈で登場する線形FM(チャープ)信号と、数学的にまったく同じ構造です。ただしここでのチャープは、送信機が意図的に作り出したものではなく、衛星とターゲットの相対幾何学が自然に作り出すチャープである点が特徴的です。この時間変化のパターンをドップラーヒストリーと呼び、その周波数変化率(チャープレート)をアジマスFMレートと呼びます。

Ka≡∣dfddt∣=2v2λRK_a \equiv \left|\frac{df_d}{dt}\right| = \frac{2v^2}{\lambda R}

アジマス圧縮 — ドップラーヒストリーへの整合フィルタ処理

ある地表の固定点から反射されてくる一連の受信パルス列(スロータイム tt に沿って並んだ受信信号)は、振幅がビームパターンで緩やかに変調されつつ、位相が fd(t)f_d(t) という周波数変化に従って回転していく、1つのチャープ信号とみなせます。整合フィルタの回で証明した通り、ある既知波形に対して出力SNRを最大化する処理は、その波形自体を時間反転・共役させたレプリカとの相関(整合フィルタ)を取ることでした。SARの受信処理系は、あらかじめ幾何学から計算できるこの理論上のドップラーヒストリー fd(t)f_d(t)(＝チャープの位相基準関数)をレプリカとして用意し、実際の受信信号列に対して相関(整合フィルタ)処理を施します。これがアジマス圧縮です。

y(t0)=∫−Tsyn/2Tsyn/2s(t) exp⁡ ⁣[−jπKa(t−t0)2]dty(t_0) = \int_{-T_{\text{syn}}/2}^{T_{\text{syn}}/2} s(t)\, \exp\!\left[-j\pi K_a (t-t_0)^2\right] dt

(s(t)s(t) は受信されたスロータイム方向の複素信号、レプリカの位相項 exp⁡[−jπKat2]\exp[-j\pi K_a t^2] は fd(t)=Katf_d(t)=K_a t を積分して得られる理論上の位相の共役です。) この操作は、レンジ方向のパルス圧縮とまったく同じ数学的構造——チャープ信号への整合フィルタリング——を、時間軸をパルス送信間隔(ファストタイム)からアパーチャ時間(スロータイム)に置き換えて適用しているに過ぎません。整合フィルタ出力は、真の目標位置 t0t_0 でぴったりと位相が揃ってコヒーレントに足し合わされ、それ以外の位置ではランダムな位相関係で打ち消し合うため、鋭いピーク(圧縮されたアジマス応答)を作ります。

アジマス分解能の導出

整合フィルタでチャープを圧縮した際の出力の時間幅は、そのチャープが掃引した帯域幅の逆数程度になる、という一般的な性質があります(これは、ほぼ一定のエネルギースペクトルを持つ信号の自己相関関数が、ウィーナー・ヒンチンの関係によりそのスペクトル幅の逆数程度の主ローブ幅を持つ、というフーリエ変換の双対性から来る標準的な結果です)。したがって、アパーチャ時間 TsynT_{\text{syn}} の間に掃引されるドップラー帯域幅 BdB_d が分かれば、圧縮後の時間分解能は δt≈1/Bd\delta t \approx 1/B_d と評価できます。

Bd=Ka Tsyn=(2v2λR)(RλDv)=2vDB_d = K_a\, T_{\text{syn}} = \left(\frac{2v^2}{\lambda R}\right)\left(\frac{R\lambda}{Dv}\right) = \frac{2v}{D}

これは実に鮮やかな結果です——RR も λ\lambda もきれいに約分されて消え、ドップラー帯域幅は衛星速度 vv と実アンテナサイズ DD だけで決まります。これを圧縮後の時間分解能に代入すると、

δtaz≈1Bd=D2v\delta t_{\text{az}} \approx \frac{1}{B_d} = \frac{D}{2v}

衛星はこの時間の間に v δtazv\,\delta t_{\text{az}} だけ移動しますから、これが地表面上でのアジマス方向の空間分解能になります。

δaz=v δtaz=D2\boxed{\delta_{\text{az}} = v\,\delta t_{\text{az}} = \frac{D}{2}}

衛星の実アンテナのアジマス方向のサイズ DD のちょうど半分という、驚くべき結果が得られました。しかも、この式には距離 RR も波長 λ\lambda も一切現れません。実開口レーダーでは分解能が距離 RR に比例して悪化し(δaz,real=Rλ/D\delta_{\text{az,real}}=R\lambda/D)、遠いほど劣化する一方だったのに対し、フルに合成開口処理された(フォーカスされた)SARのアジマス分解能は距離に依存しないのです。これは直感に反する結果に見えますが、理由は単純です——距離が遠いほどビーム幅で決まるフットプリント(Rλ/DR\lambda/D)が広がり、それに応じて合成開口の長さ LsynL_{\text{syn}} も同じ比率で伸びるため、遠距離による分解能悪化と、より長い合成開口による分解能向上とがちょうど相殺し合うのです。

さらに逆説的なことに、この式は実アンテナのサイズ DD を小さくするほど、アジマス分解能 δaz=D/2\delta_{\text{az}}=D/2 は細かく(良く)なることも示しています。DD が小さいほどビーム幅 θbeam≈λ/D\theta_{\text{beam}}\approx\lambda/D は広がり、地表の1点がビームに照らされ続ける時間(＝合成できる開口の長さ)が伸びるため、より多くのドップラー帯域を稼げるからです。もちろん現実には、ビームを広げすぎると1パルスあたりに受信される電力密度が下がってSNRが悪化する、パルス繰り返し周波数(PRF)に制約が生じる、といったトレードオフがあるため、DD は無限に小さくはできません。ここで示した δaz=D/2\delta_{\text{az}}=D/2 は、こうした実装上の制約を無視した、フルにフォーカス処理されたストリップマップSARの理論限界である点に注意してください。

レンジ方向分解能とSAR画像の2次元形成

アジマス方向の分解能を合成開口で稼ぐ一方、レンジ方向(衛星から見た距離方向)の分解能は、レーダー高度計の回で導いた通り、送信するレーダーパルス自体の帯域幅 BB によって決まります。

δR≈c2B\delta_R \approx \frac{c}{2B}

この式は、FMCW波形のビート周波数をデチャープ処理した場合でも、線形チャープを整合フィルタでパルス圧縮した場合でも同じ形で導かれ、往復伝搬による係数2を除けば「帯域幅の逆数が時間分解能を与える」という、整合フィルタ理論に共通する結果でした。SARのアジマス圧縮は、この同じ原理を送信パルス自体の時間軸(ファストタイム、送信帯域幅 BB)ではなく、衛星の移動に伴うドップラーヒストリーの時間軸(スロータイム、ドップラー帯域幅 BdB_d)に適用したものにほかなりません——両者は「どの時間軸のチャープを圧縮しているか」が違うだけで、数学的な骨格は完全に共通しています。

こうして、SARが最終的に作り出す地表画像の1画素は、次の2つの独立した圧縮処理の組み合わせで決まります。

  • レンジ方向: 送信パルスの帯域幅 BB による圧縮 →δR≈c/(2B)\to \delta_R \approx c/(2B)
  • アジマス方向: ドップラーヒストリーの帯域幅 BdB_d による圧縮(合成開口)→δaz≈D/2\to \delta_{\text{az}} \approx D/2

どちらも数学的な骨格は同一で、「既知の(送信側で意図的に作った、あるいは幾何学的に生じる)チャープ信号に対して整合フィルタをかけると、掃引した帯域幅の逆数の分解能が得られる」という整合フィルタ理論の帰結です。実際の処理系では、この2つの圧縮を単純に独立に行うだけでなく、目標までの距離が合成開口の間にわずかに変化すること(レンジウォーク、レンジカーブチャー)を補正する**レンジセル・マイグレーション補正(RCMC)**という追加のステップが必要になりますが、その本質的な考え方は「2次元(レンジ・アジマス)にまたがる整合フィルタ処理」という枠組みの中にあります。

実務での使われ方

マゼラン探査機による金星表面マッピング

SARの真価が最も劇的に発揮された惑星探査ミッションの1つが、NASAの金星探査機マゼラン (Magellan)(1990年〜1994年運用)です。金星は表面全体が常に濃硫酸の雲に覆われており、可視光カメラでは地表を一切観測できません。マゼランはS帯(波長 λ≈12.6\lambda\approx12.6 cm)のSARを搭載し、電波が雲を透過する性質を利用して、雲の下の地表地形を電波画像として撮影しました。本文で見た通り、実開口のままではアジマス分解能が数kmから数十kmにしかならないところを、合成開口処理によって数十〜数百mオーダーの分解能まで改善し、最終的には金星表面の98%以上を分解能約100〜300m程度でマッピングするという成果を上げました。これは、実開口では原理的に不可能だった解像度を、軌道運動と整合フィルタ処理だけで実現した、SARの有用性を示す代表例です。

カッシーニによるタイタン表面探査

土星探査機カッシーニ (Cassini) に搭載されたRADAR計測器も、SARモードを持つ多目的レーダーでした。土星最大の衛星タイタンは、金星と同様に濃い大気(窒素主体のもや)に覆われており光学観測が難しいため、Ku帯(波長約2.2cm)のSARによる複数回のフライバイ観測で、タイタン表面のメタン・エタンの湖や河川地形といった、地球以外では他に例を見ない地形を明らかにしました。カッシーニの軌道はマゼランのような周回軌道ではなくフライバイ(接近通過)であったため、観測のたびにスラントレンジや幾何学が大きく変わり、それに応じて分解能も数百mから1km超まで変動しましたが、いずれの場合も基本原理は本文で導いたドップラー整合フィルタ処理そのものです。

氷衛星探査への応用構想

エウロパやエンケラドゥスのような氷衛星の探査ミッション構想においても、表面の氷地形(割れ目、リッジ、プルーム噴出口の周辺構造など)を分解能よく画像化する手段として、軌道SARの搭載が検討されています。氷衛星は光学観測が可能な場合でも、太陽光の入射角や照明条件に左右されない全天候型の地形マッピング手段として、また氷の内部構造を透過的に探る氷貫通レーダー(サウンダー)と組み合わせる形で、SAR技術の応用可能性が議論され続けています。

地球観測用商用SAR衛星との類比

地球観測の分野でも、まったく同じ原理が商用・政府系の低軌道SAR衛星群(たとえばESAのSentinel-1、DLRのTerraSAR-X、あるいは近年急増しているICEYEやCapella Spaceのような小型SAR衛星コンステレーション)で活用されています。搭載アンテナの実開口サイズは数mオーダーに過ぎませんが、SAR処理によって1mを切る分解能の画像を、昼夜・天候を問わず取得できます。惑星探査機が雲や大気を突き抜けて地表を見るのと、地球観測衛星が雲や夜間の暗闇を突き抜けて地表を見るのとは、電波を使う限り本質的に同じ物理現象であり、SARという同一の信号処理技術が、惑星探査と地球観測という異なる応用分野を橋渡ししていると言えます。

演習問題

  1. ある周回衛星が、波長 λ=3.1\lambda=3.1 cm(Xバンド)、アジマス方向の実アンテナ開口 D=4.8D=4.8 m、スラントレンジ R=600R=600 km で地表を観測しているとします。(a) 実開口レーダーとして使った場合のアジマス分解能 δaz,real≈Rλ/D\delta_{\text{az,real}}\approx R\lambda/D を求めてください。(b) フルにフォーカス処理されたSARとして使った場合の理論的なアジマス分解能 δaz=D/2\delta_{\text{az}}=D/2 を求め、(a)との差がどれほど大きいか比較してください。

  2. 上記(1)の条件で、衛星の対地速度が v=7.5v=7.5 km/s であるとします。合成開口の長さ Lsyn≈Rλ/DL_{\text{syn}}\approx R\lambda/D、アパーチャ時間 Tsyn=Lsyn/vT_{\text{syn}}=L_{\text{syn}}/v、アジマスFMレート Ka=2v2/(λR)K_a=2v^2/(\lambda R)、そしてドップラー帯域幅 Bd=KaTsynB_d=K_a T_{\text{syn}} をそれぞれ数値で求め、最終的に Bd=2v/DB_d=2v/D という簡潔な式と一致することを確認してください。

  3. マゼラン探査機のS帯SAR(λ≈12.6\lambda\approx12.6 cm、アンテナ開口 D≈3.7D\approx3.7 m)について、レンジ方向の分解能 δR≈c/(2B)\delta_R\approx c/(2B) を δR≈100\delta_R\approx100 m 程度にするには、送信パルスの帯域幅 BB をおよそ何MHzに設定する必要があるか概算してください。

  4. 本文では「実アンテナのサイズ DD を小さくするほど、SARの理論的なアジマス分解能 D/2D/2 は良くなる」という、直感に反する結果を導きました。なぜこれが成り立つのか、ビーム幅・合成開口長・ドップラー帯域幅の関係を使って自分の言葉で説明してください。また、実際のSARシステムでは DD を際限なく小さくできない理由を、SNRやパルス繰り返し周波数(PRF)の観点から考察してください。

まとめと次回予告

実開口レーダーのアジマス分解能は δaz,real≈Rλ/D\delta_{\text{az,real}}\approx R\lambda/D で与えられ、衛星に搭載できる程度の小さなアンテナでは、距離が遠くなるほど際限なく悪化してしまうという原理的な壁がありました。合成開口レーダー(SAR)は、衛星が軌道上を移動しながら受信し続けるパルス列が、幾何学的に自然と線形FM(チャープ)状のドップラーヒストリー fd(t)≈−(2v2/λR)tf_d(t)\approx-(2v^2/\lambda R)t を描くことに着目し、整合フィルタの回で確立した理論をこのドップラーチャープに適用するアジマス圧縮によって、実アンテナをはるかに超える仮想的な開口を合成しました。その結果得られるアジマス分解能 δaz=D/2\delta_{\text{az}}=D/2 は、距離にも波長にも依存しない、実アンテナサイズの半分という驚くべき理論限界です。これをレンジ方向の帯域幅による分解能 δR≈c/(2B)\delta_R\approx c/(2B) と組み合わせることで、SARは2次元の高分解能地表画像を作り出します。マゼランによる金星表面マッピングやカッシーニによるタイタン探査は、この技術が「光学観測が原理的に不可能な天体」の地形を明らかにした、代表的な成功例でした。

ここまで、私たちは主に「地上局や搭載レーダーが、探査機や地表をどう捉え、測るか」という受信・観測側の信号処理を見てきました。次回は視点を変え、探査機自身が自分がどの方向を向いているか(姿勢)をどうやって知るのかという問題に軽く触れます。恒星の位置を基準にして姿勢を決定するスタートラッカーは、SARが地表の幾何学的パターンを電波で読み取ったのとはまた違う形で、天球という「既知のパターン」を光学的に読み取ることで自己の姿勢を推定する、興味深い技術です。

参考文献

  • J. C. Curlander, R. N. McDonough, Synthetic Aperture Radar: Systems and Signal Processing, Wiley
  • I. G. Cumming, F. H. Wong, Digital Processing of Synthetic Aperture Radar Data: Algorithms and Implementation, Artech House
  • M. I. Skolnik, Introduction to Radar Systems, 3rd ed., McGraw-Hill
  • C. Elachi et al., “Radar: The Cassini Titan Radar Mapper,” Space Science Reviews, 2004
  • R. S. Saunders et al., “Magellan Mission Summary,” Journal of Geophysical Research, 1992
  • F. T. Ulaby, D. G. Long, Microwave Radar and Radiometric Remote Sensing, University of Michigan Press