アンテナ自動追尾 — コニカルスキャンとモノパルスでビームを向け続ける

この回で学ぶこと

PLLの回では、地上局の受信機が「雑音に埋もれた微弱な残留搬送波の位相」をどうやって見失わずに追いかけ続けるかを、位相検波器・ループフィルタ・VCOからなる負帰還ループとして数式で見ました。しかしよく考えると、その受信機に信号を届けているのは、口径34mや70mもある巨大なパラボラアンテナです。探査機は地球から見て天球上を移動し続けており(地球の自転による見かけの動きだけでも1時間に約15度)、このアンテナ自体が、探査機のいる方向へ**物理的に(機械的に)**向き続けていなければ、そもそも受信機に信号が届きません。

つまり深宇宙通信の追尾問題には、少なくとも2つの異なるレイヤーがあります。

• 電気的な追尾: 受信した電波の位相・周波数を、PLLのようなアナログ/デジタル回路で追いかける(前回までのテーマ)。
• 機械的な追尾: アンテナという質量数百トン〜数千トンの巨大構造物を、方位角(Azimuth)・仰角(Elevation)の2軸で駆動するサーボモータによって、探査機の見かけの方向へ物理的に向け続ける(今回のテーマ)。

驚くべきことに、この2つのレイヤーは「誤差を検出し、フィルタで整形し、アクチュエータで補正する」という同じ負帰還制御の骨格を共有しています。PLLでは位相検波器・ループフィルタ・VCOが担っていた役割を、アンテナ追尾では角度誤差検出器・サーボフィルタ・駆動モータが担います。しかし両者の間には、応答速度(電気回路のμs〜msのオーダー vs. 巨大構造物のsのオーダー)、外乱の種類(雑音 vs. 風・重力変形・熱変形)など、決定的な違いもあります。この回では、アンテナの角度誤差をどうやって検出するかという核心部分——コニカルスキャン方式とモノパルス方式——を数式で追い、ビーム幅・ポインティング損失という物理的な制約と合わせて理解します。

直感的導入: なぜ「電力の変化」から方向が分かるのか

アンテナのビーム(電波を送受信する指向性パターン)は、真正面(ボアサイト、boresight)を向いているときに受信電力が最大になり、そこから角度がズレるにつれて受信電力が滑らかに落ちていく、山型の形をしています。逆に言えば、受信電力の大きさそのものが、ボアサイトからのズレ具合(角度誤差)についての情報を持っているわけです。

問題は、電力の値を1回測っただけでは、「今どちらの方向にどれだけズレているか」という符号つきの2次元情報(方位角方向のズレと仰角方向のズレ)を引き出せないことです。ある瞬間の受信電力が少し下がっていたとしても、それが探査機が右にズレたせいなのか、左にズレたせいなのか、あるいは単に信号自体が弱まっただけなのか、1点の測定だけでは区別がつきません。

コニカルスキャンとモノパルスは、どちらもこの「電力の山型パターンから、符号つきの角度誤差ベクトルを引き出す」という同じ目的のために考案された、異なる2つのアプローチです。前者は時間軸を使い、後者は複数の受信チャンネルの空間的な差を使います。以下ではこの違いを数式で具体的に見ていきます。

ビーム幅とポインティング損失

角度誤差検出の議論に入る前に、そもそもアンテナのビームがどれだけ「太い」のかを定式化しておく必要があります。開口径 $D$、波長 $\lambda$ の円形パラボラアンテナの半値幅(Half-Power Beamwidth, HPBW、ビーム中心から電力が半分に落ちるまでの全角度幅)は、典型的な照射分布(テーパ)を持つ実用的な反射鏡アンテナに対して、次の経験式でよく近似されます。

$$\theta_{3\text{dB}} \approx \frac{70\,\lambda}{D} \quad [\text{度}]$$

($\lambda$ と $D$ は同じ長さの単位。係数70は照射分布に応じて58〜70程度の範囲で変わりますが、実用設計では70がよく使われます。)

たとえばDSNの34mアンテナでXバンド($f_c \approx 8.4$ GHz、$\lambda \approx 3.57$ cm)を受信する場合、

$$\theta_{3\text{dB}} \approx \frac{70 \times 0.0357}{34} \approx 0.074^\circ \approx 4.4\ \text{分角}$$

これは満月の見かけの角直径(約30分角)の7分の1程度という、非常に細いビームです。ボアサイトのすぐ近くでは、アンテナ利得パターンはガウス関数でよく近似できます。

$$G(\theta) \approx G_0 \exp\!\left[-4\ln 2\left(\frac{\theta}{\theta_{3\text{dB}}}\right)^{2}\right]$$

ここで $\theta$ はボアサイトからの角度、$G_0$ はボアサイト上の最大利得です($\theta=\theta_{3\text{dB}}/2$ で $G=G_0/2$、すなわち-3dBになることを確認してみてください)。この式をデシベル表示に直すと、角度誤差 $\theta$ による**ポインティング損失(pointing loss)**の近似式が得られます。

$$L_{\text{point}}(\text{dB}) = 10\log_{10}\frac{G(\theta)}{G_0} \approx -12\left(\frac{\theta}{\theta_{3\text{dB}}}\right)^{2}$$

この「12×(誤差/ビーム幅)²」という式は深宇宙リンク設計で頻出する経験則です。たとえば許容できるポインティング損失を0.1 dBに抑えたいなら、

$$\frac{\theta}{\theta_{3\text{dB}}} \le \sqrt{\frac{0.1}{12}} \approx 0.091$$

つまりビーム幅のわずか約9%以内にアンテナの向きを保たなければなりません。先ほどのDSN 34mアンテナ・Xバンドの例では、$\theta_{3\text{dB}}\approx4.4$分角なので、許容ポインティング誤差はおよそ0.4分角(24秒角)程度という、極めて厳しい機械的精度が要求されることになります。しかもKaバンド(32 GHz、$\lambda\approx0.94$cm)のような高周波リンクではビーム幅がさらに数分の1に細くなるため、要求精度はさらに厳しくなります。この「ビーム幅に対して常に数%以内の精度でアンテナを向け続ける」という課題こそが、今回扱う自動追尾システムの存在理由です。

コニカルスキャン: ビームを首振りさせて誤差を検出する

**コニカルスキャン(conical scan)**方式は、アンテナのビーム軸を、機械軸(あるいは電気的な基準軸)からわずかな角度 $\theta_0$ だけ意図的にオフセット(スクイント、squint)させ、そのオフセットしたビームを機械軸のまわりに角速度 $\omega_s$ で連続的に回転(首振り)させる方式です。ビームが円錐状の軌跡を描きながら回転するため、この名前が付いています。

時刻 $t$ におけるビームの向き(機械軸からの2次元角度ベクトル)は、

$$\vec\theta_{\text{beam}}(t) = \theta_0\big(\cos\omega_s t,\ \sin\omega_s t\big)$$

一方、探査機の真の方向が機械軸からのズレ(角度誤差)$\vec\epsilon = \epsilon(\cos\psi,\ \sin\psi)$ にあるとすると、瞬間瞬間のビーム軸と探査機方向とのなす角 $\theta(t)$ は、余弦定理から

$$\theta(t)^2 = \theta_0^2 + \epsilon^2 - 2\theta_0\epsilon\cos(\omega_s t - \psi)$$

これを先ほどのガウス近似利得パターンに代入します。

$$G(\theta(t)) = G_0\exp\!\left[-\frac{4\ln2}{\theta_{3\text{dB}}^2}\big(\theta_0^2+\epsilon^2-2\theta_0\epsilon\cos(\omega_s t-\psi)\big)\right]$$

指数を分離すると、

$$G(\theta(t)) = \underbrace{G_0\exp\!\left[-\frac{4\ln2(\theta_0^2+\epsilon^2)}{\theta_{3\text{dB}}^2}\right]}_{\text{時間に依らない定数}}\cdot\exp\!\left[\frac{8\ln2\,\theta_0\epsilon}{\theta_{3\text{dB}}^2}\cos(\omega_s t-\psi)\right]$$

追尾がある程度うまくいっている状況では角度誤差 $\epsilon$ はビーム幅よりずっと小さい($\epsilon \ll \theta_{3\text{dB}}$)ので、2つ目の指数の引数は小さく、$e^x \approx 1+x$ の1次近似が使えます。受信電力 $P(t)$ は利得 $G(\theta(t))$ に比例するので、

$$P(t) \approx P_0\big[1 + m\cos(\omega_s t - \psi)\big], \qquad m = \frac{8\ln2\,\theta_0}{\theta_{3\text{dB}}^2}\,\epsilon$$

これがコニカルスキャンの核心です。受信電力は、角度誤差がゼロなら一定(無変調)だが、角度誤差があるとスキャン角周波数 $\omega_s$ で振幅変調される。その変調の深さ $m$ は誤差の大きさ $\epsilon$ に比例し、変調波形の位相 $\psi$ が誤差の方向(方位角・仰角平面上でどちらにズレているか)を教えてくれる。

実際の誤差信号の取り出しは、PLLの位相検波器と同じ発想の**同期検波(synchronous detection)**で行います。受信電力 $P(t)$ に基準信号 $\cos\omega_s t$ と $\sin\omega_s t$ をそれぞれ掛け、低域通過フィルタで平均化すると、

$$\text{方位角誤差成分} \propto \overline{P(t)\cos\omega_s t} \propto m\cos\psi \propto \epsilon\cos\psi$$ $$\text{仰角誤差成分} \propto \overline{P(t)\sin\omega_s t} \propto m\sin\psi \propto \epsilon\sin\psi$$

という2つの直交した誤差電圧が得られ、これがそのままアンテナの方位角・仰角サーボループへの補正指令となります。ただし1つの完全な誤差ベクトルを得るには、ビームが少なくとも1回転(1スキャン周期 $2\pi/\omega_s$)する時間が必要であることに注意してください。これが後述する応答速度の制約につながります。

モノパルス: 一発の受信で角度誤差を求める

**モノパルス(monopulse)**方式は、コニカルスキャンとはまったく異なるアプローチを取ります。ビームを時間的に首振りさせる代わりに、給電部(フィード)を複数用意し、空間的に異なる受信パターンを同時に作り出します。典型的な振幅比較モノパルスアンテナでは、焦点まわりに4つのフィード(あるいは1個の多モードホーン)を配置し、それぞれの出力をハイブリッド回路網(コンパレータ)で組み合わせて、次の3つのチャンネルを同時に生成します。

• 和チャンネル(Sum, $\Sigma$): 全フィードの出力を同位相で足し合わせたもの。ボアサイトで最大値を取る通常の(対称な)ビームパターンで、これは通信・テレメトリ受信そのものにも使われます。
• 方位角差チャンネル($\Delta_{\text{az}}$): 左右のフィード出力の差。ボアサイトでちょうどゼロになり、方位角方向にズレるとその符号つきの大きさに応じて出力が生じる、反対称なパターン。
• 仰角差チャンネル($\Delta_{\text{el}}$): 同様に上下のフィード出力の差。

ボアサイト近傍では、差チャンネルの出力は角度誤差に対してほぼ線形に立ち上がることが知られています。

$$\Delta_{\text{az}} \approx k_m\,\epsilon_{\text{az}}\,\Sigma(0), \qquad \Delta_{\text{el}} \approx k_m\,\epsilon_{\text{el}}\,\Sigma(0)$$

$k_m$ はモノパルス誤差傾斜定数(モノパルス・スロープ)と呼ばれ、フィードの配置やアンテナ光学系の設計で決まる定数です(良い設計では、正規化スロープ $k_m\theta_{3\text{dB}}$ が概ね1〜2程度になるよう設計されます)。

そのまま $\Delta$ を使うと、受信電力そのものの変動(天候・探査機からの送信電力の変動・レンジによる減衰の変化など)が誤差の大きさと混同されてしまいます。そこでモノパルスでは、差チャンネルを和チャンネルで正規化した比を誤差信号として使います。

$$e_{\text{az}} = \operatorname{Re}\!\left\{\frac{\Delta_{\text{az}}}{\Sigma}\right\} \approx k_m\,\epsilon_{\text{az}}, \qquad e_{\text{el}} = \operatorname{Re}\!\left\{\frac{\Delta_{\text{el}}}{\Sigma}\right\} \approx k_m\,\epsilon_{\text{el}}$$

$\Sigma$ と $\Delta$ は同一の瞬間に受信された同じ信号から作られるため、共通する振幅変動(シンチレーションや受信機ゲインのドリフトなど)は比を取ることでほぼ完全にキャンセルされます。しかも、コニカルスキャンのように時間をかけて回転させる必要がなく、受信した信号1回分(モノパルス=「単一パルス」の語源)から、方位角・仰角の2次元誤差ベクトルが瞬時に得られるのが最大の特徴です。

コニカルスキャンとモノパルスの比較

観点	コニカルスキャン	モノパルス
誤差情報の取り出し方	電力の時間変調(スキャン周期にわたる平均化が必要)	複数チャンネルの空間的な比(瞬時に取得)
応答速度	スキャン周期 $2\pi/\omega_s$ で制限される	受信機・サーボの帯域幅のみで制限される(高速)
振幅変動への耐性	信号自体の強度変化(シンチレーション、送信電力変動)と角度誤差による変調を区別しにくい	$\Delta/\Sigma$ の比を取ることで共通の振幅変動が相殺され、頑健
ハードウェア	単一フィード+機械的または電気的なビーム首振り機構。比較的単純	複数フィード+コンパレータ回路網+複数の同時受信チャンネル。複雑・高コスト
到達精度	中程度	高精度(同一SNRに対してより小さい追尾誤差)

歴史的にはコニカルスキャンの方が単純で先に実用化されましたが、現代の高精度な深宇宙局・レーダーでは、応答速度と精度の両方で優れるモノパルス方式が標準になっています。この構図は、PLLの回で見た「1次ループより2次Type-IIループの方が定常誤差なく速く追従できる」という話と、着眼点は違えど「より多くの情報(モノパルスなら空間的に同時取得したチャンネル、2次ループなら積分器を1つ増やした状態変数)を使うことで、追従性能と頑健性を同時に改善できる」という設計思想において通底しています。

実務での使われ方

NASAのDSN(Deep Space Network)は、ゴールドストーン(米国)、マドリード(スペイン)、キャンベラ(オーストラリア)の3局に、口径34mおよび70mのパラボラアンテナ群を展開しています。これらの巨大な構造物(70mアンテナは反射鏡だけで重量数百トン、駆動部を含めた可動構造全体では2,000トンを超えます)を、方位角・仰角の2軸油圧/電動サーボで、秒角オーダーの精度で駆動し続けています。

アンテナの追尾運用は、実際には2つのモードを組み合わせて行われます。

• プログラムトラック(program track、開ループ・ブラインドポインティング): 軌道決定で得られた探査機の予測エフェメリス(位置・速度の予測値)から計算した方位角・仰角の時系列指令値に従って、アンテナを開ループで駆動する方式です。ただし巨大な構造物は、仰角によって自重でたわむ重力変形、太陽が片側だけを加熱することで生じる熱変形、突風による瞬間的な風荷重外乱などにより、指令通りの角度に向けても実際のビーム軸は理想値からズレます。DSNではこれらの系統誤差をあらかじめ実測・モデル化した「ポインティングモデル」を指令値に補正として加え、開ループでもできる限り正確な方向にアンテナを向けます。このモデルの較正には、位置が電波天文学的にきわめて正確に分かっている天体(DDORの回で登場したクエーサーなど)を定期的にボアサイト観測し、ずれを測定してモデル係数を更新する、という手法が使われます。
• オートトラック(auto track、閉ループ): 受信信号が十分強ければ、コニカルスキャンあるいはモノパルスによって実測した角度誤差を使い、プログラムトラックの残差(エフェメリス誤差や上記の構造変形による誤差)をリアルタイムに補正する閉ループ制御に切り替えます。DSNでは初期にはコニカルスキャン方式のトラッキング受信機が使われていましたが、より高精度な角度追尾が要求されるKaバンド(32 GHz)のような狭ビーム幅リンクでは、モノパルストラッキング方式が標準的に採用されています。

閉ループのオートトラックが有効に機能するには、角度誤差検出に十分なSNRが必要です。これはPLLにおけるループSNR $\rho_L$ が一定の閾値を下回るとサイクルスリップが起きたのと類似した状況で、信号が極めて微弱な場合(太陽系外縁天体探査機など)にはオートトラックのための十分なSNRが得られず、プログラムトラック(高精度なポインティングモデル+精密なエフェメリス)に大きく依存せざるを得ません。

またサーボループ自体の設計思想もPLLと対比すると興味深い点があります。PLLのループ帯域幅は典型的に数Hz〜数十Hzのオーダーですが、アンテナのサーボ機械系は巨大な慣性モーメントとバックラッシュ(歯車のガタ)、非線形摩擦を抱えているため、位置・速度・電流の多重ループ構成であっても機械的な応答帯域は1Hz以下のオーダーにとどまります。「誤差検出器・フィルタ・アクチュエータの負帰還」という制御の骨格は同じでも、対象とする物理系の時定数・外乱の性質(電気的雑音 vs. 風や重力といった機械的外乱)がまったく異なるため、要求される設計パラメータは大きく違ってくるわけです。

演習問題

1. DSNの70mアンテナがSバンド($f_c=2.3$ GHz、$\lambda\approx13.0$ cm)で受信するとき、半値幅 $\theta_{3\text{dB}}\approx70\lambda/D$ を求めよ。同じアンテナがKaバンド($f_c=32$ GHz、$\lambda\approx0.94$ cm)で受信する場合の半値幅も求め、両者を比較せよ。

2. 問1のKaバンドの半値幅を用いて、許容ポインティング損失を $0.3$ dB としたときの許容ポインティング誤差(秒角単位)を、$L_{\text{point}}(\text{dB})\approx-12(\theta/\theta_{3\text{dB}})^2$ を使って求めよ。Sバンドの場合と比べて要求精度がどう変わるか論じよ。

3. コニカルスキャンのスクイント角を $\theta_0 = 0.4\,\theta_{3\text{dB}}$、角度誤差を $\epsilon = 0.05\,\theta_{3\text{dB}}$ としたとき、変調度 $m = 8\ln2\,\theta_0\epsilon/\theta_{3\text{dB}}^2$ を求めよ。この結果から、角度誤差がビーム幅の何%であれば、変調度が受信機のダイナミックレンジ的に検出しやすい数%〜十数%程度の大きさになるか、大まかに見積もれ。

4. なぜモノパルス方式の $\Delta/\Sigma$ という「比」を取る操作が、コニカルスキャンで問題になりうる受信信号強度自体の変動(シンチレーションや送信電力ドリフト)に対して頑健なのか。また、コニカルスキャンが原理的にスキャン周期にわたる時間平均を必要とするのに対し、モノパルスがなぜ瞬時に誤差を検出できるのかを、この回で導出した式を踏まえて自分の言葉で説明せよ。

まとめと次回予告

これまで扱ってきたPLLが「受信機の中で信号の位相を電気的に追いかける」レイヤーだったのに対し、今回はその手前にある「アンテナという巨大な構造物を、探査機の方向へ物理的に向け続ける」というまったく別のレイヤーの追尾問題を扱いました。ビーム幅 $\theta_{3\text{dB}}\approx70\lambda/D$ が細ければ細いほど(高い周波数・大きな開口径ほど)、要求されるポインティング精度は $L_{\text{point}}\approx-12(\theta/\theta_{3\text{dB}})^2$ という関係に従って厳しくなります。この精度を実現するために、コニカルスキャンは受信電力の時間変調から、モノパルスは和・差チャンネルの空間的な比から、それぞれ符号つきの角度誤差ベクトルを取り出し、アンテナのサーボループにフィードバックしていることを見ました。

ここまでで、PCM/PSK/PM(変調)・PLL(位相追尾)・そして今回のアンテナ自動追尾(方向追尾)という、地上局が信号を「捕まえ続ける」ための3つの異なるレイヤーが揃いました。次回は少し視点を変え、これらの観測量(レンジ、ドップラー、DDOR、そして今回のアンテナ角度情報)を統合して探査機の軌道を継続的に推定していくカルマンフィルタによる軌道決定の考え方に軽く触れます。個々の観測が持つ雑音と、探査機のダイナミクスに関するモデルとを、どうバランスよく組み合わせて最良の軌道推定を得るか、という統計的推定の枠組みです。

参考文献

• DSN Telecommunications Link Design Handbook, DSN No. 810-005(アンテナ・サーボおよびトラッキング性能に関するモジュール)
• J. H. Yuen (ed.), Deep Space Telecommunications Systems Engineering, JPL Publication 82-76
• M. I. Skolnik, Introduction to Radar Systems, 3rd ed., McGraw-Hill(コニカルスキャン・モノパルスの古典的な理論展開)
• S. M. Sherman, D. K. Barton, Monopulse Principles and Techniques, 2nd ed., Artech House
• J. R. Wertz, D. F. Everett, J. J. Puschell (eds.), Space Mission Engineering: The New SMAD(ビーム幅・ポインティング損失の式)