DDOR — 電波干渉法で天球上の角度を測る

この回で学ぶこと

これまで3回にわたって扱ってきた測距(レンジング)は、いずれも「探査機と地上局の間の距離をどう測るか」という問題でした。非再生・再生というアーキテクチャの違い、シーケンシャルトーンとPN符号という波形の違いはあっても、測っている物理量はつねに片道・往復の伝搬遅延、つまり地球と探査機を結ぶ直線上の距離でした。

しかし探査機の軌道を精密に決定する(軌道決定, Orbit Determination)には、距離だけでは足りません。地上局から見て探査機がどの方向にいるか、天球上のどの角度位置にいるかという情報が別に必要です。とりわけ、地球から探査機への視線方向(line of sight)に直交する方向の位置ズレは、レンジ(視線方向の距離)やPLLで追尾するドップラー(視線方向の速度)だけでは原理的に決めにくいという弱点があります。1本のアンテナからレンジとドップラーをいくら精密に測っても、それらは基本的に視線方向の1次元の情報しか与えてくれないからです。

この視線直交方向の位置を高精度に決めるために使われるのが、今回扱う DDOR (Delta-Differential One-way Ranging、しばしば Delta-DOR と略される) です。名前に「ランギング」とありますが、実体は距離を測る技術ではなく、地球上の離れた2つの地上局(数千kmの基線)で同じ探査機信号を同時受信し、その到達時刻のわずかな差から探査機の天球上の角度位置を求める、電波天文学のVLBI (Very Long Baseline Interferometry, 超長基線電波干渉法) をそのまま応用した技術です。この回では、その幾何学的な原理から、電離層・対流圏遅延を較正する「Delta」の仕組み、広帯域トーンによる群遅延測定、そして実際に達成されるナノラジアン級の角度精度までを数式で追っていきます。

直感的導入: なぜ「距離」ではなく「角度」が必要なのか

深宇宙探査機の軌道を完全に決定するには、3次元空間中の位置(3自由度)と速度(3自由度)、合計6つのパラメータを知る必要があります。レンジとドップラーは、地上局から見た視線方向の距離と速度の変化率という、いわば「1次元」の情報しか与えません。地球が自転しながら1日を通して探査機を追跡すると、視線方向自体が時々刻々と変わるため、レンジ・ドップラーのデータを長時間蓄積すれば、幾何学的にある程度は視線直交方向の情報も間接的に得られます。しかし、この間接的な推定には限界があります。とくに、

• 探査機が地球から見てほぼ静止して見える幾何配置(視線方向の変化が乏しい局面)
• 巡航中で軌道力学的な動きが小さく、レンジ・ドップラーの時間変化から角度情報を「絞り出す」のに長時間を要する局面
• 火星探査機のように、目的地の惑星に対する相対位置(視線直交方向のオフセット)を精密に知る必要がある着陸・軌道投入直前の局面

などでは、レンジ・ドップラーだけに頼った軌道決定は視線直交方向の誤差が大きくなりがちです。ここで、レンジ・ドップラーとは独立な、角度そのものを直接測る観測量があれば、軌道決定の幾何学的な弱点を補強できます。DDORはまさにこの役割を果たす観測量です。

発想はシンプルです。地球上の2つの地点(たとえばアメリカとオーストラリア、あるいはスペインとオーストラリアといった、数千kmから1万km近く離れた地上局のペア)で、まったく同じ探査機の信号を同時に受信します。探査機から見て2つの地上局は少しだけ違う方向にあるため、電波が2つの局に届くタイミングにはごくわずかな時間差が生じます。この時間差は、2局を結ぶ基線ベクトルと、探査機への視線方向とのなす角度に直接関係しています。つまり**「2地点での受信時刻の差」を精密に測ることで、視線方向そのものを求められる**わけです。これは電波天文学でクエーサーなど遠方の電波源の位置を決めるのに使われてきたVLBI技術と原理的にまったく同じで、地球規模のアンテナペアを1つの巨大な干渉計として使う発想です。

数式による定式化

幾何学: 到達時間差と基線

地球上に2つの地上局 A, B を考え、両者を結ぶベクトルを基線ベクトル $\vec{B}$(大きさ $B$、方向は局Aから局Bへ)とします。探査機が地球から十分遠方にあり、探査機からの電波が2局にほぼ平行な平面波として到来すると近似できるとき(遠方界近似、深宇宙探査機ではこの近似はきわめて良く成り立ちます)、局Aと局Bへの信号到達時刻の差 $\Delta\tau$ は、幾何学的に

$$\Delta\tau = \frac{\vec{B}\cdot\hat{s}}{c}$$

と書けます。ここで $\hat{s}$ は探査機方向への単位ベクトル(視線方向)、$c$ は光速です。基線ベクトルと視線方向のなす角を $\theta$ とすると、内積は $\vec B \cdot \hat s = B\cos\theta$ ですが、慣例的に $\theta$ を「基線に垂直な方向から測った角度」に取り直すと、しばしば

$$\Delta\tau = \frac{B\sin\theta}{c}$$

という形で表されます(このとき $\theta$ は基線の法線方向と視線方向のなす角、すなわち探査機が基線の延長方向からどれだけ傾いているかを表す角度です)。この式は電波天文学の干渉計の基本方程式そのものであり、$\Delta\tau$ が最大になるのは探査機が基線方向(またはその延長)にあるとき($\theta = \pi/2$)、$\Delta\tau = 0$ になるのは探査機が基線に垂直な方向にあるとき($\theta = 0$)です。

この式を角度 $\theta$ について解くと、

$$\theta = \arcsin\!\left(\frac{c\,\Delta\tau}{B}\right)$$

となり、到達時間差 $\Delta\tau$ を精密に測定できれば、基線に対する探査機の角度 $\theta$ が求まることが分かります。基線長 $B$ が地球規模(数千〜1万km)であるのに対し、$\Delta\tau$ は光速で割った量なので、地球直径程度の基線では $\Delta\tau$ の最大値は数十ミリ秒のオーダーです。この短い時間差を、後述するようにナノ秒よりさらに小さいオーダーまで精密に測ることが、DDORの精度の鍵になります。

実際の探査機追跡では、1本の基線だけでは天球上の1次元の角度(基線方向に射影した角度)しか決まりません。天球上の2次元位置(赤経・赤緯、あるいは類似の角度座標系)を決定するには、方向の異なる2本の基線(典型的には東西方向の基線と南北方向の基線)を組み合わせて、それぞれの方向の到達時間差を測定します。地球上の3局(あるいはそれ以上)の組み合わせから、東西基線・南北基線に近い成分をそれぞれ構成することで、探査機の天球上の2次元位置が決定されます。

群遅延の測定: なぜ位相だけでは足りないのか

$\Delta\tau$ を実際にどう測定するかが次の問題です。素朴には、受信した電波の搬送波位相を2局で比較すればよさそうに思えます。しかし搬送波の周波数を $f_c$ とすると、位相差から求まる時間差は

$$\Delta\tau_{\text{phase}} = \frac{\Delta\phi}{2\pi f_c} \pmod{\frac{1}{f_c}}$$

という形で、シーケンシャルトーン測距で見たのとまったく同じ**$2\pi$アンビギュイティ**の問題を抱えています。深宇宙探査機のXバンド搬送波(約8.4 GHz)の周期は0.12ナノ秒程度しかなく、この一意範囲は基線長数十kmに満たない到達時間差にしか対応しません。地球規模の基線が生む数十ミリ秒オーダーの $\Delta\tau$ に対して、位相測定だけでは天文学的な数のアンビギュイティ候補が生じてしまい、シーケンシャルトーン測距のときとまったく同じ理由で使い物になりません。

この問題を解決するのが**群遅延(group delay)**の測定です。探査機のダウンリンク信号には、テレメトリやレンジング信号を乗せるために複数の異なる周波数のスペクトル成分(サブキャリア、レンジングトーンなど)が含まれています。位相 $\phi(f)$ を周波数 $f$ の関数として見たとき、伝搬遅延 $\tau$ は位相の周波数に対する傾きとして現れます。

$$\phi(f) = -2\pi f \tau + \phi_0$$ $$\tau = -\frac{1}{2\pi}\frac{d\phi(f)}{df}$$

これが群遅延の定義です。単一周波数の位相はアンビギュイティを持ちますが、複数の周波数で位相を測定し、その位相差を周波数差で割って傾きを求めれば、$2\pi$アンビギュイティのない群遅延が得られます。実際にDDORで使われる観測トーンは、探査機のダウンリンクスペクトル上で最も広く離れた2つの成分(たとえば数十MHz離れた2本の広帯域トーン、DDORトーンと呼ばれる)を選び、その位相差

$$\Delta\phi_{12} = \phi(f_1) - \phi(f_2)$$

から、群遅延の推定値

$$\hat\tau_{\text{group}} = \frac{\Delta\phi_{12}}{2\pi(f_1 - f_2)}$$

を求めます。この式の一意範囲(アンビギュイティ周期)は $1/(f_1-f_2)$ で決まるため、周波数差 $f_1 - f_2$ を広く取るほど群遅延の測定精度は上がりますが、アンビギュイティ周期は狭くなるという、シーケンシャルトーン測距とまったく同じ構造のトレードオフが現れます。実務上は、狭帯域から広帯域まで複数のトーン対を段階的に組み合わせ、狭帯域トーンでアンビギュイティを解消してから広帯域トーンで高精度化するという、シーケンシャルトーン測距の考え方をそのまま踏襲した手続きが取られます。

各局で測定した群遅延の差、すなわち探査機信号に対する到達時間差

$$\Delta\tau_{\text{sc}} = \tau_A - \tau_B$$

が、先ほどの幾何学の式に代入すべき観測量になります。

Delta較正: クエーサーとの交互観測

ここまでの議論は理想的な状況を仮定していました。実際には $\Delta\tau_{\text{sc}}$ の測定には、幾何学的な視線角以外にもさまざまな誤差要因が混入します。

• 電離層遅延: 電波が電離層を通過する際に生じる余分な伝搬遅延。周波数に依存し($\propto 1/f^2$)、時間帯・太陽活動によって変動する。
• 対流圏遅延: 電波が中性大気(対流圏)を通過する際の遅延。局所的な気象条件に依存する。
• 地上局の位置誤差: 基線ベクトル $\vec B$ そのものの測定誤差(局位置の推定誤差、地球の自転・極運動のモデル誤差など)。
• 地上局の時刻・周波数基準の誤差: 2局の時計・周波数標準(水素メーザーなど)の間の同期誤差。
• 探査機自身の送信位相の不確かさ: トランスポンダの位相特性など。

これらの誤差要因の多くは、探査機とほぼ同じ天球上の方向にある電波源を、探査機の直前・直後に交互に観測することで大幅にキャンセルできます。この参照電波源として使われるのが、位置が天文学的にきわめて正確に(ミリ秒角、あるいはそれ以下のオーダーで)分かっている**クエーサー(準恒星状電波源, Quasar)**です。国際天文学連合(IAU)が定める国際天球基準系(ICRF, International Celestial Reference Frame)には、数百から数千個のクエーサーの位置が高精度にカタログ化されています。

観測の手順は次のようになります。

1. まず探査機を数分間観測し、群遅延の到達時間差 $\Delta\tau_{\text{sc}}$ を測定する。
2. アンテナを、探査機から天球上でごく近く(典型的には数度以内)にあるクエーサーへ素早く向け直し、同様に到達時間差 $\Delta\tau_{\text{quasar}}$ を測定する。
3. これを数分〜十数分おきに交互に繰り返す。

クエーサーは天文学的に位置が既知なので、そこから期待される到達時間差 $\Delta\tau_{\text{quasar}}^{\text{predicted}}$ を幾何学(既知の局位置・地球姿勢モデル)から計算でき、これと実際の測定値 $\Delta\tau_{\text{quasar}}^{\text{measured}}$ の差

$$\delta\tau_{\text{cal}} = \Delta\tau_{\text{quasar}}^{\text{measured}} - \Delta\tau_{\text{quasar}}^{\text{predicted}}$$

が、電離層・対流圏遅延や局位置誤差など、その時刻・その視線方向に共通する系統誤差の推定値になります。探査機とクエーサーが天球上で十分近ければ、電波が通過する電離層・対流圏の経路もほぼ同じなので、この $\delta\tau_{\text{cal}}$ を探査機側の測定値から差し引くことで、系統誤差の大部分を除去できます。

$$\Delta\tau_{\text{sc}}^{\text{calibrated}} = \Delta\tau_{\text{sc}}^{\text{measured}} - \delta\tau_{\text{cal}}$$

この**「探査機とクエーサーの差(Delta)を取ることで系統誤差を較正する」**という手順こそが、DDORの名前の由来である「Delta」の意味です。単に2局間の差(Differential)を取るだけでなく、さらに較正電波源との差(Delta)を取るという、二重の差分構造を持つことがこの技術の本質です。この較正済みの到達時間差 $\Delta\tau_{\text{sc}}^{\text{calibrated}}$ を、先に導出した幾何学の式に代入することで、電離層・対流圏・局位置誤差の影響を大きく抑えた、精密な視線角 $\theta$ が得られます。

達成可能な角度精度

DDORの角度分解能は、基線に対して直交な射影で考えると、基本的に「群遅延の測定精度 $\sigma_\tau$」を「光が基線を通過するのにかかる時間 $B/c$」で割ったものとして見積もることができます。

$$\sigma_\theta \approx \frac{c\,\sigma_\tau}{B}$$

地球規模の基線(たとえば $B \approx 8000$ km、アメリカ大陸とオーストラリア大陸を結ぶような局配置)を使い、広帯域トーンによる群遅延測定精度が $\sigma_\tau$ でおよそ数十ピコ秒のオーダーに達する場合、

$$\sigma_\theta \approx \frac{(3\times10^8\ \text{m/s}) \times (10^{-11}\ \text{s})}{8\times10^6\ \text{m}} \approx 4\times10^{-10}\ \text{rad}$$

という、ナノラジアン(nrad)オーダーの角度分解能が得られます。これは驚くほど高い精度で、直感的に理解するために距離に換算すると、$1$ AU(約1.5億km)彼方の探査機に対して1ナノラジアンの角度誤差は、視線直交方向の位置誤差にしておよそ

$$\Delta x \approx \theta_{\text{error}} \times d \approx 10^{-9} \times 1.5\times10^{11}\ \text{m} \approx 0.15\ \text{m}$$

程度、すなわち数メートルから数十メートル程度の視線直交方向の位置精度に相当します(実際の運用精度は基線長・SNR・較正の質などに依存し、数ナノラジアンからその数倍程度のオーダーで報告されることが多い)。これはレンジ・ドップラーだけでは到底得られない精度であり、軌道決定における視線直交方向の弱点を強力に補います。

実務での使われ方

DDORは、NASAのDSN (Deep Space Network) とESAのESTRACK (European Space Tracking network) が共同で開発・運用してきた技術です。基線として使われる局の組み合わせは、たとえばNASA DSNのゴールドストーン(アメリカ・カリフォルニア)、マドリード(スペイン)、キャンベラ(オーストラリア)の3局の任意のペア、あるいはESAのマラルグエ(アルゼンチン)、ニューノルシア(オーストラリア)、セブレロス(スペイン)などが用いられ、NASA・ESA間の相互協力(クロスサポート)によって、DSN局とESTRACK局を組み合わせた基線が使われることもあります。これにより、東西方向・南北方向の両方に十分な長さを持つ基線が確保され、天球上の2次元角度位置を決定できます。

DDORの標準的な運用は、CCSDSの勧告書 CCSDS 506.0-B (Delta-DOR Technique) に規定されています。この規約には、DDORトーンの周波数配置、クエーサーとの交互観測の手順、較正の要件などが詳細に定められています。

実際のミッションでは、DDORは次のような局面で重要な役割を果たしてきました。

• 火星探査機の巡航・接近航法: レンジ・ドップラーだけでは決めにくい視線直交方向の位置決定に、DDORが不可欠な役割を果たします。火星到着直前の軌道決定精度は、大気圏突入や周回軌道投入の成否に直結するため、複数回のDDOR観測を軌道決定に組み込むことが標準的な運用になっています。NASAの火星探査機群(マーズ・リコネッサンス・オービター、キュリオシティ、パーサヴィアランスなど)の巡航フェーズでは、定期的なDDORパスがミッション運用計画に組み込まれてきました。
• 深宇宙ミッションの太陽系脱出・惑星間軌道決定: ボイジャーのような太陽系外縁部を航行する探査機や、小惑星・彗星へのランデブーミッションでも、視線直交方向の精密な軌道決定にDDORが使われています。
• 国際協力ミッション: 日本のJAXAを含む各国の宇宙機関も、NASA DSNとの相互協力のもとでDDOR観測を実施することがあり、はやぶさ2のような探査機の精密航法にも同種の電波干渉計測技術が活用されています。

DDORはレンジ・ドップラーと組み合わせて軌道決定フィルタ(逐次最小二乗法やカルマンフィルタなど)に投入されることが一般的で、視線方向の情報(レンジ・ドップラー)と視線直交方向の情報(DDOR)を統合することで、探査機の6自由度の軌道状態を高い精度でバランス良く決定できます。

演習問題

1. 基線長 $B = 10{,}000$ km の2局で探査機からの信号を受信したところ、到達時間差 $\Delta\tau = 15$ ms が測定された。基線の法線方向から測った角度 $\theta = \arcsin(c\Delta\tau/B)$ を求めよ。

2. DDORトーンとして2本の広帯域トーンを $f_1 = 7.15$ GHz、$f_2 = 8.45$ GHz に配置した場合、群遅延測定のアンビギュイティ周期 $1/(f_1-f_2)$ を求め、これを距離(基線への射影)に換算せよ。地球規模の基線(数千〜1万km)に対してこのアンビギュイティ周期が十分かどうかを議論せよ。

3. なぜ探査機の観測とクエーサーの観測を「交互に、かつ天球上で近い方向で」行う必要があるのか。電離層・対流圏遅延の性質(周波数依存性、視線方向依存性)に触れながら、Delta較正が機能する理由を自分の言葉で説明せよ。

4. 群遅延測定精度 $\sigma_\tau = 50$ ps、基線長 $B = 8000$ km のDDOR観測について、角度精度 $\sigma_\theta \approx c\sigma_\tau/B$ をラジアン単位で求め、火星が地球から $d = 2$ AU の距離にある場合の視線直交方向の位置誤差(メートル単位)を見積もれ。

まとめと次回予告

DDORは、これまでのレンジング技術が扱ってきた「距離(視線方向)」とは異なる軸、すなわち「角度(視線直交方向)」を測る技術です。地球規模の2地上局間の到達時間差 $\Delta\tau = B\sin\theta/c$ という単純な幾何学から出発し、$2\pi$アンビギュイティを回避するための群遅延測定、そして電離層・対流圏遅延や局位置誤差を較正するためのクエーサーとの交互観測(Delta較正)という2段構えの工夫によって、ナノラジアンオーダーという驚異的な角度精度を実現しています。この精度は、火星探査機の航法をはじめとする多くのミッションで、レンジ・ドップラーだけでは埋められない視線直交方向の軌道決定精度のギャップを埋める、なくてはならない観測量になっています。

次回は、DDORと同じくVLBIの発想を土台にしながら、地球局とは異なる観測構成を扱う 同一ビーム干渉法(Same-Beam Interferometry, SBI) に軽く触れます。これは2機の探査機(たとえば周回機と着陸機、あるいは編隊飛行する複数機)がアンテナのビーム内に同時に収まるほど天球上で近接している場合に、2機の信号の差分を取ることで、DDORよりもさらに高精度に相対位置を決定できる技術です。DDORで学んだ「差分を取って共通誤差を消す」という考え方が、ここでも中心的な役割を果たします。

参考文献

• CCSDS 506.0-B, Delta-DOR Technique
• J. H. Yuen (ed.), Deep Space Telecommunications Systems Engineering, JPL Publication 82-76
• DSN Telecommunications Link Design Handbook, DSN No. 810-005 (Delta-DOR に関するモジュール)
• C. S. Jacobs et al., “Sub-Nanoradian Astrometry with the Deep Space Network,” IPN Progress Report, JPL
• A. E. E. Rogers, “Very Long Baseline Interferometry with Large Effective Bandwidth for Phase-Delay Astrometry,” Radio Science