ターボ等化 — SISO等化器と復号器が外部情報を反復交換してISIを消し込む

この回で学ぶこと

チャネル等化技術の回では、周波数選択性フェージング通信路が引き起こすISIを能動的に取り除く手段として、ゼロフォーシング等化器・DFE・そして通信路を「記憶を持つ状態機械」とみなしてビタビアルゴリズムを適用するMLSE等化を学びました。一方ターボ符号の回では、2つの畳み込み符号器を並列連接し、2つのソフト入力・ソフト出力(SISO)復号器がBCJRアルゴリズムで計算した対数尤度比(LLR)の**外部情報(extrinsic information)**だけを反復的に交換することで、シャノン限界にわずか1dB足らずまで迫れることを見ました。

この2つの回で扱った技術は、これまで独立した話として学んできました。実際のディジタル通信システムでは、送信側は情報ビットを誤り訂正符号(畳み込み符号やターボ符号)で符号化してから変調・伝送し、受信側はまず等化器でISIを取り除き、その出力を復号器に渡して誤り訂正する、という直列パイプラインが組まれます。この回では、まずこの素朴な「等化してから復号」というパイプラインがなぜ性能の頭打ちを迎えるのかを整理したうえで、ターボ符号の回で学んだ反復復号の発想を等化器と復号器のペアに適用するターボ等化(turbo equalization)を扱います。中心となるのは、等化器を「ISI通信路という名の符号器」とみなし、SISO等化器とSISO復号器を、ターボ符号の回で見たDEC1・DEC2とまったく同じ論理でインターリーバ越しに接続するという発想の転換です。あわせて、反復のたびに情報がどう改善していくかを可視化するEXITチャートという解析手法と、前回学んだ、意図的に強いISIを許容して伝送効率を上げるFTN(Faster-than-Nyquist)伝送がなぜターボ等化なしには実用化できないのかという接続を見ていきます。

直感的導入: なぜ「等化してから復号」では頭打ちになるのか

まず、なぜ直列パイプラインが不十分なのかを具体的に考えましょう。送信側では情報ビット $\mathbf{u}$ を畳み込み符号器などで符号化してビット列 $\mathbf{c}$ を作り、これをBPSKなどでシンボル $a_k \in \{-1,+1\}$ に写像してISI通信路に送り出します。受信機はまず前回学んだMLSE等化器(あるいはDFE)にかけて $\hat a_k$ の推定系列(またはそのソフト値)を作り、その結果を1回だけ復号器に渡して最終的な誤り訂正を行う、という一方向の情報の流れです。

この構成の弱点は、ターボ符号の回の冒頭で見た直列連接符号(RS+畳み込み符号)の弱点と本質的に同じ構造をしています。等化器は、送信系列 $\mathbf{c}$ が実は誤り訂正符号によって強い構造(冗長性)を持っていることをまったく知らずに、ISI通信路の逆問題だけを解いて $\hat a_k$ を決定します。ISIが強い(通信路の記憶長 $L$ が大きい、あるいは通信路の周波数応答に深いヌルがある)場合、等化器の出力には残留誤りが避けられません。この残留誤りは復号器に一度きり渡され、復号器はそこから誤りを訂正しようとしますが、復号器が「このビット列はこう並んでいるはずだ」と気づいた情報を、等化器側にフィードバックして等化のやり直しに使わせる手段が、直列パイプラインには存在しません。等化器は復号器が持つ符号の構造的知識を一切利用できず、復号器は等化器が既に(不可逆的に)潰してしまった情報を取り戻せない。これが、直列処理がある点から先で性能を伸ばせなくなる理由です。

ターボ符号の回で学んだ反復復号の核心は、まさにこの「一方向の情報の流れ」を「双方向の情報交換」に置き換えることでした。同じ発想を等化器と復号器のペアに当てはめられないか——これがターボ等化の出発点です。

ターボ等化の構成: 通信路を「符号」とみなす発想の転換

送受信モデルの整理

送信側のモデルを整理します。情報ビット $\mathbf{u}$ を外側の誤り訂正符号器(畳み込み符号やRSC符号器)に通して符号化ビット $\mathbf{c} = \{c_k\}$ を得て、これをインターリーバ $\pi$ でかき混ぜてから($c'_k = \pi(c_k)$)、BPSKで

$$a_k = 2c'_k - 1 \in \{-1, +1\}$$

というシンボルに写像し、ISI通信路に送り出します。チャネル等化技術の回で扱ったのと同じ形の受信サンプルが得られます。

$$y_k = \sum_{n=0}^{L-1} h_n\, a_{k-n} + \nu_k, \qquad \nu_k \sim \mathcal{N}(0, N_0/2)$$

ここでインターリーバ $\pi$ を符号器とISI通信路のあいだに挟んだことに注目してください。この配置は偶然ではありません。ターボ符号の回のPCCC構成でインターリーバが「RSC1が苦手とする入力パターンを、RSC2にとっては別のパターンに変える」役割を果たしたのとまったく同じ理由で、ここでも「符号器が苦手とする低重み誤りパターンを、ISI通信路にとっては別のパターンに変える」ことで、後述する反復処理の効果を最大化するために意図的に挿入されています。

ISI通信路を「符号」とみなす

チャネル等化技術の回のMLSE等化の節で、ISI通信路が過去 $L-1$ シンボルの履歴を状態

$$s_k = (a_{k-1}, a_{k-2}, \ldots, a_{k-L+1}) \in \{-1,+1\}^{L-1}$$

とする、$2^{L-1}$ 個の状態を持つ有限状態機械(トレリス)とみなせることを見ました。この事実は、畳み込み符号器が状態と入力から出力を決定論的に生成する構造と数学的に同型でした。

ターボ等化はこの同型性をそのまま利用します。ISI通信路を、ビット列 $\{c'_k\}$ を受け取って(雑音まみれの)出力 $\{y_k\}$ を生成する、一種の「レート1の符号器」とみなすのです。すると受信機側にも、ターボ符号の回でDEC1・DEC2として登場したのとまったく同じ構図——2つのSISO(ソフト入力・ソフト出力)処理ブロックが、インターリーバを介してLLRの外部情報を交換し合う構図——が組み立てられます。一方のSISOブロックはISI通信路のトレリス上でBCJRを実行するSISO等化器、もう一方は外側の誤り訂正符号のトレリス上でBCJRを実行するSISO復号器です。ターボ符号の回のPCCCが2つの符号器を並列に連接していたのに対し、ここでは符号器とISI通信路が直列に連接されている点が構造上の違いですが、復号側で使われる「外部情報だけを交換して反復する」というターボ原理そのものは共通です。

SISO等化器 — BCJRをISIトレリスに適用する

SISO等化器は、ターボ符号の回で導入したBCJRアルゴリズムの前向き変数 $\alpha_k(s)$・後向き変数 $\beta_k(s)$・枝メトリック $\gamma_k(s',s)$ の枠組みを、符号のトレリスではなくISI通信路のトレリスの上で走らせます。導出そのものはターボ符号の回と同一なので繰り返しませんが、枝メトリックの中身はここで新しく組み立てる必要があります。

状態遷移 $s_{k-1}=s' \to s_k=s$ は、シンボル $a_k$ の値を1つ決めるので、チャネル等化技術の回のMLSEブランチメトリックで使った予測受信値

$$\hat y_k(s', s) = \sum_{n=0}^{L-1} h_n\, a_{k-n}$$

がこの遷移ごとに一意に定まります。ビタビアルゴリズムではこの予測値とのユークリッド距離だけがブランチメトリックでしたが、SISO等化器ではこれに加えて、その遷移が対応するビット $c'_k$ の事前確率を掛け合わせます。事前LLR $L_a(c'_k)$(後述するように、これはSISO復号器から回ってきた外部情報です)から事前確率を

$$P_a(a_k = +1) = \frac{e^{L_a(c'_k)}}{1+e^{L_a(c'_k)}}, \qquad P_a(a_k=-1) = \frac{1}{1+e^{L_a(c'_k)}}$$

と求め、ブランチメトリックを

$$\gamma_k(s', s) = P_a(a_k)\, \exp\!\left(-\frac{\big(y_k - \hat y_k(s',s)\big)^2}{N_0}\right)$$

と定義します。反復1回目には復号器からの情報がまだないため $L_a(c'_k)=0$(等確率、$P_a=1/2$)からスタートし、以降の反復では復号器の外部情報が事前確率として組み込まれていきます。

この $\gamma_k$ を使って、ターボ符号の回とまったく同じ前向き・後向き再帰

$$\alpha_k(s) = \sum_{s'} \alpha_{k-1}(s')\, \gamma_k(s', s), \qquad \beta_{k-1}(s') = \sum_{s} \gamma_k(s', s)\, \beta_k(s)$$

を計算し、ビット $c'_k$ の事後LLRを

$$L_{\mathrm{eq}}(c'_k) = \ln \frac{\displaystyle\sum_{(s',s):\,c'_k=1} \alpha_{k-1}(s')\,\gamma_k(s',s)\,\beta_k(s)}{\displaystyle\sum_{(s',s):\,c'_k=0} \alpha_{k-1}(s')\,\gamma_k(s',s)\,\beta_k(s)}$$

として得ます。ここで1点、ターボ符号の回のBCJRとの重要な違いに注意してください。PCCCの復号では、系統ビット1つに対して受信サンプル1つ($y_k^s$)が対応する単純なAWGN観測だったため、事後LLRを「チャネル項+事前情報+外部情報」の3項に明快に分解できました。ここでは1つの受信サンプル $y_k$ が 複数の シンボル $a_k, a_{k-1}, \ldots, a_{k-L+1}$ の重ね合わせ(ISI)であるため、個々のビットに対する「チャネル項」を単独で取り出すことはできません。かわりに、事後LLRから差し引くのは事前情報の項だけです。

$$L_{e,\mathrm{eq}}(c'_k) = L_{\mathrm{eq}}(c'_k) - L_a(c'_k)$$

この $L_{e,\mathrm{eq}}(c'_k)$ が、ISI通信路の構造(=他のシンボルとの重なり合い)だけから新たに引き出された情報、すなわち外部情報です。ターボ符号の回で強調した「情報の近親相姦」を避けるという原則がここでも成り立ちます。$L_a(c'_k)$ をそのまま差し引かずに丸ごと次段へ渡してしまうと、復号器は自分がすでに生成した情報を等化器経由で二重に受け取ることになり、反復のたびに誤った確信が積み上がってしまいます。

外部情報の交換とインターリーバ

等化器が出した外部情報 $L_{e,\mathrm{eq}}(c'_k)$ をデインターリーブし、SISO復号器への事前情報とします。

$$L_{a,\mathrm{dec}}(c_k) = \pi^{-1}\big[L_{e,\mathrm{eq}}(c'_k)\big]$$

SISO復号器は、ターボ符号の回で扱ったBCJRアルゴリズムを、外側の誤り訂正符号(畳み込み符号やRSC符号器)のトレリス上でそのまま走らせます。ここで復号器は受信信号 $y_k$ を直接観測しないことに注意してください——符号化ビット $c_k$ がチャネルにさらされる前に必ずインターリーバと等化器を経由する構成になっているため、復号器にとっての「観測」は等化器から渡された事前LLR $L_{a,\mathrm{dec}}(c_k)$ だけです。したがって復号器の事後LLRは

$$L_{\mathrm{dec}}(c_k) = L_{a,\mathrm{dec}}(c_k) + L_{e,\mathrm{dec}}(c_k)$$

という2項だけに分解され(直接のチャネル項が存在しない点がターボ符号の回のPCCC復号との違いです)、外部情報 $L_{e,\mathrm{dec}}(c_k)$ をインターリーブして次の反復のための等化器の事前情報とします。

$$L_a(c'_k) \leftarrow \pi\big[L_{e,\mathrm{dec}}(c_k)\big]$$

この「SISO等化器 → デインターリーブ → SISO復号器 → インターリーブ → SISO等化器 → …」というサイクルを、あらかじめ決めた回数だけ繰り返します。最終反復では、復号器は符号化ビットのLLRだけでなく、符号器の構造(組織ビットとパリティビットの対応関係)を通じて情報ビット $u_k$ の事後LLR $L(u_k)$ も計算でき、その符号を取って最終的なビット判定 $\hat u_k = \mathrm{sign}(L(u_k))$ とします。

収束特性: EXITチャート

反復を何回繰り返せば十分か、そもそも反復によって本当に性能が改善していくのかを事前に(実際にシミュレーションを回さずに)見積もるための解析手法が**EXITチャート(Extrinsic Information Transfer chart)**です。基本アイデアは、SISO等化器・SISO復号器それぞれを、「事前情報の質」を入力に取り、「外部情報の質」を出力する一種の伝達関数とみなすことです。

情報の「質」は、ビット確率分布とのあいだの相互情報量(mutual information)$I \in [0,1]$ で定量化します。$I=0$ はそのLLRがビット値についてまったく情報を持たない(等確率)状態、$I=1$ はビット値を完全に(誤りなく)特定できる状態です。SISO等化器については、入力側の事前情報の相互情報量を $I_{A,\mathrm{eq}}$、出力側の外部情報の相互情報量を $I_{E,\mathrm{eq}}$ とし、与えられた $E_b/N_0$ のもとで

$$I_{E,\mathrm{eq}} = T_{\mathrm{eq}}(I_{A,\mathrm{eq}};\, E_b/N_0)$$

という伝達関数(EXIT関数)を、$L_a(c'_k)$ を人工的に生成したガウス分布のLLR(相互情報量 $I_{A,\mathrm{eq}}$ を持つように作った疑似的な事前情報)として与え、実際に等化器を走らせて出力 $L_{e,\mathrm{eq}}$ の相互情報量を測る、という数値実験で求めます。同様にSISO復号器についても

$$I_{E,\mathrm{dec}} = T_{\mathrm{dec}}(I_{A,\mathrm{dec}})$$

を求めます。ここで重要な違いがあります。復号器は $y_k$ を直接観測しないため、$T_{\mathrm{dec}}$ は $E_b/N_0$ に依存しません——符号の構造だけで決まる、$E_b/N_0$ ごとに描き直す必要のない固定曲線です。一方 $T_{\mathrm{eq}}$ はチャネル雑音の直接観測を含むため、$E_b/N_0$ が変わるたびに曲線の形も変わります。

反復の1サイクルでは、等化器の出力 $I_{E,\mathrm{eq}}$ が(デインターリーブを経て、統計的性質は保たれるとみなして)復号器の入力 $I_{A,\mathrm{dec}}$ になり、復号器の出力 $I_{E,\mathrm{dec}}$ が等化器の入力 $I_{A,\mathrm{eq}}$ に戻ります。そこで、$T_{\mathrm{eq}}$ のグラフを通常通りに、$T_{\mathrm{dec}}$ のグラフを縦横を入れ替えて同じ座標軸上に重ね描くと、反復の軌跡は2本の曲線のあいだを行き来する階段状の経路として可視化できます。この2本の曲線の間に隙間(トンネル)がある限り、階段は右上に向かって進み続け、$I_E \to 1$ に近い、ほぼ誤りのない状態に収束します。逆に2本の曲線がどこかで交差してしまうと、階段はその交点で足止めされ、それ以上反復を重ねても外部情報の質が改善しなくなります。この交差が起こるかどうかの境界となる $E_b/N_0$ が、ターボ符号の回で見たターボクリフに相当する、ターボ等化の収束しきい値を与えます。EXITチャートの利点は、実際に大量のビットをシミュレーションして誤り率曲線を測定するよりずっと少ない計算量で、この収束しきい値を予測できることにあります。

FTN伝送との接続

前回、シンボル間隔をナイキスト間隔 $T$ より意図的に狭め、符号間干渉を承知の上で単位時間あたりにより多くのシンボルを詰め込むFTN(Faster-than-Nyquist)伝送を扱いました。FTNが生み出すISIは、周波数選択性フェージングのように環境に依存して刻々と変わる未知の歪みではなく、パッキング係数を決めた時点で送受信機の双方に既知の、確定的で強いISIです。しかし「既知だから簡単」というわけにはいきません。パッキング係数を小さくする(シンボルをより密に詰める)ほど、ISIに寄与する有意なタップ数 $L$ が増え、チャネル等化技術の回で見たMLSE等化のトレリス状態数 $2^{L-1}$ が指数的に増大します。また、ZF等化器やDFEのような線形・判定帰還型の等化器は、これほど強いISIのもとでは雑音強調や誤り伝播が深刻化し、実用に耐えるビット誤り率を達成できません。

ここでターボ等化の出番になります。FTN受信機は、外側に配置された誤り訂正符号の冗長性を反復のたびに等化器へフィードバックすることで、単独のMLSE等化器では消しきれない残留ISIを、反復を重ねるごとに段階的に消し込んでいきます。実際、現実的な演算量に収まる縮小状態のSISO等化器(状態数を人為的に絞り込んだBCJRの簡易版)とターボ原理を組み合わせることで、パッキング係数を1に近づけて(強くFTN化して)もシャノン容量に迫る伝送効率を達成できることが、FTNの理論的研究(Rusek & Andersonらの一連の研究)で示されています。つまりターボ等化は、FTN伝送という「意図的にISIを許容して周波数利用効率を稼ぐ」という発想を、実際に運用可能な誤り率で実現するための、受信機側の不可欠な対になる技術なのです。

実務での使われ方

ターボ等化が最も威力を発揮するのは、通信路自体が深い周波数選択性フェージングを持ち、有意なISIタップ数 $L$ が大きい環境です。

• 地上の高速無線通信(GSM/EDGEの研究、移動体通信の初期のターボ等化研究): チャネル等化技術の回で見た通り、GSMの受信機はMLSE(ビタビ)等化を標準的に用いますが、都市部で遅延広がりが大きく畳み込み符号との組み合わせで誤り率をさらに改善したい場合には、ターボ等化の研究(BauchやHagenauerらによる先駆的な研究)が1990年代後半から盛んに行われ、単純な「等化→復号」の直列処理に対して1dB以上の性能改善が報告されています。
• 水中音響通信: 水中の音響チャネルは、マルチパスによる遅延広がりが数百シンボル分に達することがあり、地上の無線通信よりもさらに極端な周波数選択性を示します。フルサイズのBCJRベースSISO等化器は状態数が実装不可能なほど大きくなるため、後述の低演算量版と組み合わせたターボ等化が研究・実装されています。
• FTN伝送の受信機: 前節で述べた通り、DVB-S2X標準の拡張やCCSDSの高スループットリンクの研究など、周波数利用効率を高めるためにFTN伝送を採用する提案の多くが、受信機構成としてターボ等化(あるいはその低演算量版)を前提としています。

一方で、ターボ等化には無視できない代償があります。ターボ符号の回で見た通り、BCJRアルゴリズムは前向き・後向きの2方向の逐次走査を必要とし、これを反復のたびに、しかもSISO等化器とSISO復号器の両方で繰り返す必要があります。SISO等化器のトレリス状態数は $2^{L-1}$ であり、通信路の記憶長 $L$ が数タップを超えると、単発のMLSE等化(1回のビタビ走査)に比べて、反復回数($N_{\mathrm{iter}}$ 回、実務では数回〜10回程度)倍の演算量が余分にかかります。これが深宇宙リンクのようにほぼ平坦な通信路では等化そのものが不要であるのに対し、地上のマルチパス環境やFTN伝送では等化がほぼ必須になる、というチャネル等化技術の回で見た対比を、さらに一段強めた形で繰り返しています。この演算量問題への実務的な対処として、状態数を絞り込む縮小状態BCJR等化のほかに、トレリスを一切使わずに時変の線形MMSEフィルタを反復ごとに再設計する線形MMSEターボ等化(Tüchler・Koetter・Singerらが提案)という代替アプローチもよく使われます。これはBCJRほど最適ではないものの、通信路の記憶長 $L$ に対して演算量が指数的にではなく多項式的にしか増えないため、$L$ が大きい通信路(FTNの強いパッキングや水中音響通信など)で好んで採用されます。

演習問題

1. SISO等化器のブランチメトリック $\gamma_k(s',s) = P_a(a_k)\exp\!\left(-(y_k-\hat y_k(s',s))^2/N_0\right)$ が、チャネル等化技術の回で学んだMLSE(ビタビ)等化のブランチメトリック $\lambda_k(s'\to s) = |y_k - \bar y_k(s_k,a_k)|^2$ とどう違うか、(a) 事前確率項の有無、(b) 出力される情報の形(単一の最尤パス vs. ビットごとの事後確率)という2つの観点から説明してください。

2. 本文で「復号器のEXIT関数 $T_{\mathrm{dec}}$ は $E_b/N_0$ に依存しない」と述べました。なぜそう言えるのか、復号器がチャネル観測 $y_k$ を直接受け取らないという回路構成に即して説明してください。またこの性質は、同じ図の上に等化器のEXIT曲線を複数の $E_b/N_0$ について描き直す実務上の作業量を、どのように削減してくれるか考えてください。

3. 通信路の記憶長が $L=6$(トレリス状態数 $2^{5}=32$)であるとします。ブロック長 $N=2000$ シンボル、反復回数 $N_{\mathrm{iter}}=8$ のターボ等化を行う場合と、1回だけのMLSE等化(ビタビアルゴリズム、状態数32、Add-Compare-Select演算が状態あたり2つの分岐に比例)を行う場合とで、SISO等化器側の演算量のオーダーをそれぞれ見積もり、両者の比を求めてください。

4. FTN伝送でパッキング係数を小さくする(シンボルをより密に詰める)と、なぜZF等化器やDFEでは実用的な誤り率を達成できなくなるのか、チャネル等化技術の回で学んだ雑音強調と誤り伝播の概念を使って説明し、そのうえでターボ等化がこの問題をどう緩和するかを、外部情報の反復交換という観点から述べてください。

まとめと次回予告

「等化してから復号する」という直列パイプラインは、等化器が誤り訂正符号の構造的知識を利用できず、復号器も等化器がすでに潰した情報を取り戻せないという一方向性ゆえに、強いISIのもとでは性能が頭打ちになります。ターボ等化は、ISI通信路そのものを一種の符号器とみなすという発想の転換によって、ターボ符号の回で学んだBCJRベースの反復復号の枠組みをそのまま等化問題に持ち込み、SISO等化器とSISO復号器がインターリーバ越しに外部情報のLLRを交換しながら、残留ISIと復号誤りを反復的に減らしていく仕組みです。EXITチャートはこの反復が収束するかどうかを、実際のシミュレーションなしに予測する解析ツールであり、ターボ等化は演算量の増大という代償と引き換えに、前回学んだFTN伝送のような強い意図的ISIを実用的な誤り率で受信するための鍵となる技術です。

次回は、これまでの等化・ターボ等化の議論が「通信路のタップ係数 $h_n$ は既知である」という前提の上に成り立っていたことに立ち返り、その前提そのものを緩めるブラインドチャネル推定に軽く触れます。トレーニング系列を送らずに、受信信号の統計的性質だけから通信路を推定するというアプローチが、周波数帯域の有効利用という観点からなぜ魅力的なのかを見ていきます。

参考文献

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