測距・追跡#29

SBI — 同一ビーム干渉法で2機の相対位置を測る

DDORはクエーサーとの差分で誤差を消したが、探査機がもう1機あればどうなるか。周回機とローバーを同じアンテナビーム内で同時観測するSame-Beam Interferometryの幾何学と誤差キャンセルを、DDORの誤差モデルと対比しながら数式で追う。

前提知識: ddor

SBIVLBI相対航法電波干渉法軌道決定

この回で学ぶこと

前回、DDORは「探査機」と「クエーサー」という種類の異なる2つの電波源を交互に観測し、その到達時間差の差分(Delta)を取ることで、電離層・対流圏遅延や局位置誤差といった系統誤差を較正する技術だと学びました。クエーサーは天球上の位置が天文学的にきわめて正確に分かっている「物差し」として機能し、探査機の観測に紛れ込む誤差を浮かび上がらせる役割を果たしていました。

しかし、探査機がもう1機あったらどうでしょうか。たとえば火星を周回するオービターと、火星表面に着陸したローバーが、同時に地球へ向けて電波を出しているとします。この2機が地球から見て天球上できわめて近くにある(具体的には、地上局アンテナの1つのビーム幅の中に両方が収まる)なら、DDORでクエーサーとの交互観測によって行っていた誤差較正を、探査機どうしの同時観測でも実現できるはずです。しかも、クエーサーは天球上で「近い」といっても数度程度離れていることが多いのに対し、2機の探査機は数分角、時にはビーム内という桁違いの近さで観測できます。この幾何学的な近さが、誤差キャンセルの質を劇的に向上させます。

この回では、この**同一ビーム干渉法(Same-Beam Interferometry, SBI)**を扱います。DDORの基本幾何(基線・到達時間差・群遅延測定)はすでに前回導出済みなので、ここでは繰り返しません。焦点を当てるのは、「観測対象が2機の探査機になる」ことで誤差モデルがどう変わり、なぜ相対位置決定の精度がDDORより格段に向上するのか、という差分の部分です。

直感的導入: なぜ「2機同時」がここまで効くのか

DDORのDelta較正を思い出しましょう。探査機とクエーサーを交互に(数分〜十数分間隔で)観測し、天球上でおおむね同じ方向を向いた2つの視線に共通する電離層・対流圏遅延、局位置誤差を差し引いていました。この手法には2つの本質的な制約がありました。

交互観測であって同時観測ではない: アンテナを探査機からクエーサーへ、あるいはその逆へ機械的に振り向ける時間(スルー時間)がかかります。この数分間のあいだに大気の状態が変化すれば、較正の質はその分だけ劣化します。
視線の分離角が有限: 探査機に近いクエーサーを選んでも、実際には天球上で数度離れていることが普通です。電離層・対流圏は空間的に一様ではないため、分離角が大きいほど、2つの視線が実際に通過する大気の状態にはズレが生じ、差し引き残る誤差(較正残差)が大きくなります。

ここで、もし2機の探査機が地球から見てアンテナのビーム幅程度(深宇宙アンテナで典型的にはXバンドやKaバンドで数分角以下)にまで接近していれば、話は大きく変わります。1本のアンテナで両方の信号を本当に同時に、まったく同じビームの中で受信できるため、

スルー時間そのものが存在しない(真の同時観測)。
2つの視線が通過する大気のカラム(電離層・対流圏の経路)がほとんど重なり合う。

という2つの利点が同時に得られます。DDORが「近い方向にある既知天体との差分」で誤差を間接的に消していたのに対し、SBIは「本当にほぼ同じ方向にある2つの観測対象の差分」を取るため、誤差のキャンセルがより直接的かつ徹底したものになります。これがSBIがDDORよりも高精度な相対位置決定を実現できる理由の核心です。

なお、SBIが求めるのは探査機の「絶対位置」(天球上の座標)ではなく、2機の探査機の相対位置であることに注意してください。オービターとローバーがそれぞれ天球上のどこにいるかを個別に高精度に知りたいのではなく、「オービターに対してローバーがどの方向に、どれだけズレているか」を知りたい場面(たとえば着陸精度の検証、周回機・着陸機間の相対航法)にSBIは特化した技術です。

数式による定式化

観測量: 2機分の到達時間差とその差分

地上局の基線 A, B について、DDORと同じ幾何学がそれぞれの探査機に対して成り立ちます。探査機1(たとえばオービター)への視線方向単位ベクトルを $\hat s_1$ 、探査機2(たとえばローバー)への視線方向単位ベクトルを $\hat s_2$ とすると、それぞれの到達時間差は

\Delta\tau_1 = \frac{\vec B \cdot \hat s_1}{c}, \qquad \Delta\tau_2 = \frac{\vec B \cdot \hat s_2}{c}

です。DDORで見たように、実際の測定値にはこの幾何学的な項に加えて、電離層・対流圏遅延や局位置誤差などの系統誤差が加わります。これを明示的に書くと、探査機 $i$ ( $i=1,2$ )についての測定到達時間差は

\Delta\tau_i^{\text{meas}} = \Delta\tau_i^{\text{geom}} + \epsilon_{\text{ion}}(\hat s_i) + \epsilon_{\text{trop}}(\hat s_i) + \epsilon_{\text{baseline}} + \epsilon_{\text{clock}}

という形にモデル化できます。ここで $\epsilon_{\text{ion}}(\hat s_i)$ 、 $\epsilon_{\text{trop}}(\hat s_i)$ は視線方向 $\hat s_i$ に依存する電離層・対流圏遅延誤差、 $\epsilon_{\text{baseline}}$ は基線ベクトル $\vec B$ の推定誤差、 $\epsilon_{\text{clock}}$ は2局間の時刻・周波数基準の同期誤差です。 $\epsilon_{\text{baseline}}$ と $\epsilon_{\text{clock}}$ は、視線方向にほとんど依存せず、その観測エポックにおいてほぼ一定と見なせる誤差である点に注目してください(視線方向依存性が弱いため、添字 $i$ を付けていません)。

SBIの観測量は、この2つの到達時間差の差です。

\Delta\Delta\tau \equiv \Delta\tau_1^{\text{meas}} - \Delta\tau_2^{\text{meas}}

これを展開すると、

\Delta\Delta\tau = \big(\Delta\tau_1^{\text{geom}} - \Delta\tau_2^{\text{geom}}\big) + \big[\epsilon_{\text{ion}}(\hat s_1) - \epsilon_{\text{ion}}(\hat s_2)\big] + \big[\epsilon_{\text{trop}}(\hat s_1) - \epsilon_{\text{trop}}(\hat s_2)\big] + \big(\epsilon_{\text{baseline}} - \epsilon_{\text{baseline}}\big) + \big(\epsilon_{\text{clock}} - \epsilon_{\text{clock}}\big)

$\epsilon_{\text{baseline}}$ と $\epsilon_{\text{clock}}$ は視線方向に依存しない共通項なので、この差分で厳密にゼロになります。

\epsilon_{\text{baseline}} - \epsilon_{\text{baseline}} = 0, \qquad \epsilon_{\text{clock}} - \epsilon_{\text{clock}} = 0

残る電離層・対流圏の項は、 $\hat s_1$ と $\hat s_2$ の分離角が小さいほどゼロに近づきます。ここがDDORとの決定的な違いです。DDORでは探査機とクエーサーの分離角が数度あるため、この差分は完全にはゼロにならず「較正残差」として残っていました。SBIでは分離角がビーム幅程度、すなわちミリラジアンからそれ以下のオーダーになるため、電離層・対流圏誤差の相関がきわめて高く、差分残差がDDORに比べて桁違いに小さくなります。

誤差キャンセルの定量化: 相関モデル

この相関を定量的に見るために、電離層遅延誤差を天球上の分離角 $\Delta\psi = |\hat s_1 - \hat s_2|$ (小角近似でのなす角)の関数として、単純な空間相関モデルで表しましょう。誤差の分散を $\sigma_{\text{ion}}^2$ 、相関長(電離層のゆらぎが独立になる典型的な角スケール)を $\psi_c$ とすると、2視線間の残差の分散は

\text{Var}\big[\epsilon_{\text{ion}}(\hat s_1) - \epsilon_{\text{ion}}(\hat s_2)\big] = 2\sigma_{\text{ion}}^2\big[1 - \rho(\Delta\psi)\big]

と書けます。ここで $\rho(\Delta\psi)$ は分離角 $\Delta\psi$ における誤差の相関係数で、 $\Delta\psi \to 0$ で $\rho \to 1$ (完全相関、誤差が完全にキャンセル)、 $\Delta\psi$ が相関長 $\psi_c$ を超えると $\rho \to 0$ (無相関、誤差が独立に加算される)という振る舞いをします。相関係数のもっとも単純なモデルとしてガウス型を採用すると、

\rho(\Delta\psi) = \exp\!\left(-\frac{\Delta\psi^2}{2\psi_c^2}\right)

DDORの典型的な分離角( $\Delta\psi_{\text{DDOR}} \sim$ 数度、ラジアンに直すとおよそ $10^{-2}$ rad オーダー)に対し、SBIの分離角( $\Delta\psi_{\text{SBI}} \sim$ アンテナのビーム幅程度、Xバンド・Kaバンドの深宇宙局で典型的に $10^{-4}$ rad 以下)は、桁で2桁以上小さくなります。電離層の相関長 $\psi_c$ が観測条件によって数度〜十数度程度と見積もられる場合、DDORの分離角ではすでに $\rho$ がある程度1から離れ始めているのに対し、SBIの分離角では $\Delta\psi/\psi_c \ll 1$ となるため $\rho \approx 1$ が高い精度で成り立ち、残差分散はほぼゼロに潰れます。これが「SBIの相対位置決定精度がDDORより格段に向上する」ことの数式的な根拠です。

相対角位置への変換

差分観測量 $\Delta\Delta\tau$ からは、DDORのときと同じ幾何学の逆算を経て、探査機間の相対角位置が得られます。基線に対する視線角をそれぞれ $\theta_1$ , $\theta_2$ とすると、

\Delta\Delta\tau = \frac{B}{c}\big(\sin\theta_1 - \sin\theta_2\big)

分離角 $\Delta\theta = \theta_1 - \theta_2$ が小さいという前提(SBIが成立する状況ではまさにこれが成り立ちます)のもとで、 $\sin\theta_1 - \sin\theta_2 \approx \Delta\theta\cos\theta_1$ と1次近似すると、

\Delta\theta \approx \frac{c\,\Delta\Delta\tau}{B\cos\theta_1}

という関係が得られます。DDORと同様、天球上の2次元の相対位置を決定するには方向の異なる複数の基線が必要ですが、得られる観測量が「絶対角度 $\theta$ 」ではなく「相対角度差 $\Delta\theta$ 」である点が異なります。この $\Delta\theta$ を、探査機までの距離 $d$ (火星探査であれば地球ー火星間の距離)と掛け合わせることで、視線直交方向の相対位置ズレ

\Delta x_{\perp} \approx d \cdot \Delta\theta

に変換できます。DDORのときと同様に群遅延測定の精度を $\sigma_\tau$ とすると、相対角位置の誤差は

\sigma_{\Delta\theta} \approx \frac{c\,\sigma_{\Delta\tau}}{B}

という形になりますが、ここでの $\sigma_{\Delta\tau}$ は、上で見た通り共通誤差(電離層・対流圏・局位置・時計)がほぼ完全にキャンセルされた後の残差なので、DDORの $\sigma_\tau$ (クエーサー較正後の残差)よりもさらに小さくなります。実務上は、SBIの相対角位置精度はDDORの絶対角位置精度よりも1桁前後向上し、視線直交方向の相対位置精度としてメートル以下、条件が良ければサブメートルのオーダーに達することが報告されています。

実務での使われ方

SBIは、DDORと同じくCCSDS/DSN/ESTRACKの枠組みで培われたVLBI型技術の応用として、複数の探査機が同時に運用される火星ミッションを中心に実用化されてきました。

火星周回機と着陸機・ローバーの相対航法: 火星周回機(たとえばNASAのマーズ・リコネッサンス・オービター、マーズ・オデッセイ)と、火星表面の着陸機・ローバー(キュリオシティ、パーサヴィアランスなど)が同時に地球へ向けて電波を送信している間、DSNの1つのアンテナビーム内で両者を同時受信し、SBI観測を行うことで、着陸機の火星上での位置を周回機の(すでに精密に決定されている)軌道に対して高精度に位置決定する運用が行われてきました。これは着陸精度の事後検証や、ローバーの走行位置を火星の地図(周回機による高解像度画像)に正確に結び付ける「ローカリゼーション」に直接役立ちます。
複数探査機の編隊飛行・相対軌道決定: 複数の探査機が近接した軌道を飛行する編隊飛行ミッションや、母船・子機構成のミッションでは、SBIによって相互の相対位置を高精度に把握することが、衝突回避や協調観測(たとえば重力場の同時多点測定)の精度を左右します。
着陸機からの分離運用中の相対位置決定: 周回機から着陸機やペネトレータが分離される降下フェーズでは、両者がまだ天球上で十分に近い間はSBIを使って相対位置・相対速度をリアルタイムに近い形で把握し、降下軌道の精密な再構築(降下再構成、Entry-Descent-Landing reconstruction)に利用されることがあります。

DDORと同様、SBIも群遅延測定のためには探査機側のダウンリンクスペクトルに十分に広い帯域のトーン(あるいはテレメトリ副搬送波・レンジング信号のスペクトル成分)が必要であり、2機の探査機の信号が周波数分離されている(同じRFチャンネルで混信しない)ことが前提になります。ミッション設計段階で、周回機と着陸機のダウンリンク周波数をあらかじめ十分に離しておく、あるいは異なるバンド(Xバンド・Kaバンドなど)を使うといった配慮がなされます。

演習問題

DDORにおける典型的な探査機とクエーサーの分離角を $\Delta\psi_{\text{DDOR}} = 3^\circ$ 、SBIにおける2機の探査機の分離角を $\Delta\psi_{\text{SBI}} = 0.01^\circ$ (アンテナビーム幅程度)とする。電離層誤差の相関長を $\psi_c = 10^\circ$ とし、ガウス型相関モデル $\rho(\Delta\psi) = \exp(-\Delta\psi^2/2\psi_c^2)$ を用いて、それぞれの場合の $1-\rho(\Delta\psi)$ の値を計算し、SBIがDDORよりどれだけ誤差キャンセルの点で有利かを議論せよ。
本文中で導出した $\Delta\Delta\tau = \Delta\tau_1^{\text{meas}} - \Delta\tau_2^{\text{meas}}$ の展開式において、局位置誤差 $\epsilon_{\text{baseline}}$ と時計誤差 $\epsilon_{\text{clock}}$ がなぜ厳密にゼロになるのか、DDORにおけるクエーサー較正との違い(交互観測 vs 同時観測)に触れながら説明せよ。
基線長 $B = 8000$ km、群遅延の差分測定精度(共通誤差キャンセル後の残差)を $\sigma_{\Delta\tau} = 5$ ps とする。相対角位置の精度 $\sigma_{\Delta\theta} \approx c\,\sigma_{\Delta\tau}/B$ をラジアン単位で求め、火星が地球から $d = 1.5$ AU の距離にある場合の視線直交方向の相対位置精度(メートル単位)を見積もれ。DDORの演習で得られる絶対位置精度(数十メートル程度)と比較し、桁がどう変わるか論じよ。
SBIが成立するためには、2機の探査機が「同一のアンテナビーム内」に収まっている必要がある。もし2機の探査機の分離角がアンテナのビーム幅を大きく超えていたら、実際の観測運用上どのような問題が生じるか(受信のしかた、そしてDDORとの本質的な違いに触れて)、自分の言葉で説明せよ。

まとめと次回予告

SBIは、DDORの「差分を取って共通誤差を消す」という発想を、もう一段先鋭化させた技術です。DDORがクエーサーという既知天体との交互観測によって間接的に誤差をキャンセルしていたのに対し、SBIは2機の探査機を同一のアンテナビーム内で真に同時観測することで、基線推定誤差・時刻同期誤差を厳密にゼロにし、電離層・対流圏遅延もほぼ完全に近い精度でキャンセルします。この結果、視線直交方向の相対位置決定精度は、DDORの絶対位置決定精度よりもさらに1桁近く向上し、火星の周回機・着陸機間の相対航法や、複数探査機の編隊飛行の運用に不可欠な技術として使われています。

ここまでレンジング(距離)、ドップラー(速度)、そしてDDOR・SBI(角度・相対角度)という、軌道決定を支える主要な電波航法の観測量をひととおり見てきました。次回は締めくくりとして、これらレンジ・ドップラー・DDORを軌道決定フィルタの中でどう組み合わせ、探査機の6自由度の軌道状態を統合的に推定するのか、電波航法の統合に軽く触れます。

参考文献

CCSDS 506.0-B, Delta-DOR Technique
J. S. Border, “Innovations in Delta Differential One-way Range: from Viking to Mars Science Laboratory,” Proceedings of the 2011 International Symposium on Space Flight Dynamics, JPL
DSN Telecommunications Link Design Handbook, DSN No. 810-005 (Same-Beam Interferometry に関するモジュール)
S. W. Asmar et al., “Spacecraft Doppler Tracking: Noise Budget and Accuracy Achievable in Precision Radio Science Observations,” Radio Science, JPL
C. D. Edwards et al., “Relative Navigation of Mars Landers Using Same-Beam Interferometry,” Proceedings of the AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference