測距・追跡#6

再生測距 — 探査機で雑音を洗い流してから送り返す測距方式

前回の非再生(ターンアラウンド)測距が抱える『往復分の雑音が重畳される』という弱点を、探査機側で測距符号を一度復調・再構成してから送り返す再生測距がどう解決するかを、SNR比較と測距精度の数式で理解する。CCSDS 414.1-Bに規定される深宇宙標準としての位置づけも扱う。

前提知識: transponder、ranging-nonregen

測距PN符号CCSDSSNR深宇宙探査

この回で学ぶこと

前回、探査機との距離を測る「測距(レンジング)」の基本方式として、非再生測距(ターンアラウンド測距、non-regenerative / turnaround ranging)を学びました。この方式では、地上局が送った測距用のPN(擬似雑音、Pseudo-Noise)符号を、探査機のトランスポンダが復調せずにそのまま周波数変換だけして送り返します。仕組みが単純で探査機側の負担が小さい一方、致命的な弱点がありました。それは、アップリンクで乗った雑音を、探査機が消さずにそのまま増幅して送り返してしまうため、地上局が最終的に受け取る信号には「アップリンクの雑音」と「ダウンリンクの雑音」の両方が重畳されている、という点です。

この回で扱う 再生測距(regenerative ranging) は、この弱点に真正面から取り組みます。アイデアは単純明快です。探査機側でPN測距符号を一度きちんと復調してビット(チップ)を判定し、雑音を含まないクリーンな符号を作り直してから、それを新たに変調してダウンリンクに送り出す。つまり探査機は「増幅して送り返すだけの中継器」から「一度理解してから話し直す中継器」に役割を変えるわけです。この回では、この違いがSNR(信号対雑音比)と測距精度にどう定量的に効いてくるのかを数式で追い、CCSDSにおける規格上の位置づけと、深宇宙ミッションでの実際の使われ方を見ていきます。

直感的な全体像

伝言ゲームで考えてみましょう。非再生測距は、Aさん(地上局)がBさん(探査機)に耳打ちした言葉を、Bさんが内容を理解しないまま、聞こえた音をそのまま増幅してCさん(地上局、受信側)に伝えるようなものです。Aさんの声が最初から少し聞き取りにくかった(雑音が乗っていた)なら、その聞き取りにくさはそのままCさんまで伝わり、さらにBさんからCさんまでの間にも新しい雑音が加わります。結果として、Cさんが受け取る言葉は「往復2回分の雑音」を背負ったものになります。

再生測距はここが違います。BさんはAさんの言葉を一度きちんと聞き取り、正しい単語だと判断してから、自分の声で改めてCさんに伝え直します。Aさんの声にどれだけノイズが乗っていても、Bさんが正しく聞き取れさえすれば(つまりアップリンクのSNRが十分に高ければ)、Bさんが話し直す言葉は雑音ゼロのクリーンな内容です。Cさんが背負う雑音は、BさんからCさんまでの一区間分だけになります。

具体的に探査機の中で何が起きているかを、オンボード処理の流れとして書き下すと次のようになります。

受信・復調: 探査機のトランスポンダが、地上局から送られてきたアップリンク信号(サブキャリアに乗ったPN測距符号)を受信し、復調してベースバンドのチップ列を取り出す。
ビット(チップ)判定: 復調された信号を、チップ周期ごとにサンプリングし、 $+1$ か $-1$ かを硬判定(ハードディシジョン)する。この時点で、判定さえ正しければアップリンクの雑音の痕跡は原理的に消え去る。
符号の再構成: 判定されたチップ列から、送信すべき正しいPN符号を再構成する。地上局と探査機はあらかじめ同じPN符号系列を共有しているため、再構成された符号は理想的には雑音を一切含まない。
再変調・送信: 再構成されたクリーンな符号を、ダウンリンクのサブキャリアに新たに変調し、探査機の送信機から地上へ送り返す。

この「復調 → 判定 → 再構成 → 再変調」という4ステップが再生測距の心臓部です。実は、これは通信工学における中継方式の分類そのものにも対応しています。非再生測距は**増幅転送(Amplify-and-Forward, AF)中継、再生測距は復号転送(Decode-and-Forward, DF)**中継に、数学的な構造として対応しています。この視点を踏まえて、以下で両者のSNRを定量的に比較していきます。

SNR比較: 往復雑音はどう「消える」のか

非再生測距のSNR(復習)

測距チャネルの信号品質を表す量として、ここでは測距信号電力対雑音スペクトル密度比 $P_R/N_0$ (単位はHz、いわゆる dB-Hz で表されることが多い量)を使います。アップリンク側の測距SNRを $(P_R/N_0)_{up}$ 、ダウンリンク側を $(P_R/N_0)_{down}$ とします。

非再生測距(増幅転送中継)では、探査機はアップリンクで受信した「信号+雑音」をひとまとめに増幅してそのまま送り返すため、アップリンクの雑音がダウンリンクの雑音に対して独立に上乗せされます。高SNR近似のもとで、この2ホップの合成SNRは電気回路の並列合成抵抗と同じ形の**逆数和(調和平均)**で与えられることが知られています。

\left(\frac{P_R}{N_0}\right)_{\text{2-way, 非再生}}^{-1} = \left(\frac{P_R}{N_0}\right)_{up}^{-1} + \left(\frac{P_R}{N_0}\right)_{down}^{-1}

この式の直感的な意味は明快です。並列抵抗の合成値が必ずどちらの抵抗値よりも小さくなるのと同じで、合成SNR $(P_R/N_0)_{\text{2-way, 非再生}}$ は、アップリンク単体・ダウンリンク単体のどちらのSNRよりも必ず悪化します。アップリンクがどれほど強くても、ダウンリンクがどれほど強くても、弱い方の脚が全体の足を必ず引っ張るのです。

再生測距のSNR

再生測距(復号転送中継)では、探査機はアップリンクで受信した信号を一度ビット判定してから再構成します。ここで鍵になるのが、アップリンクのビット誤り率 $P_{e,up}$ が十分小さければ、再構成された符号は(理想的には)雑音を含まないという点です。判定が正しい限り、雑音は「消去」されているのであって「伝播」しているのではありません。

このとき、地上局が最終的に受け取る測距信号のSNRは、ダウンリンク区間で新たに加わる雑音だけで決まります。

\left(\frac{P_R}{N_0}\right)_{\text{2-way, 再生}} \approx \left(\frac{P_R}{N_0}\right)_{down} \qquad \left(P_{e,up} \ll 1 \text{ のとき}\right)

つまりアップリンクのSNRがどれほど低くても(判定を誤らせない範囲であれば)、2-way測距の最終的な精度はダウンリンク単体のSNRとほぼ同じになるわけです。これが非再生方式との決定的な違いです。

両者を並べると、非再生では

\left(\frac{P_R}{N_0}\right)_{\text{2-way, 非再生}} = \left[\left(\frac{P_R}{N_0}\right)_{up}^{-1} + \left(\frac{P_R}{N_0}\right)_{down}^{-1}\right]^{-1} \; \le \; \left(\frac{P_R}{N_0}\right)_{down} \approx \left(\frac{P_R}{N_0}\right)_{\text{2-way, 再生}}

という不等式が常に成り立ち、再生測距は非再生測距に対して原理的に決して悪化しない(等号はアップリンクが無限に強い極限でのみ成立)ことが分かります。

なぜ深宇宙ほど有利になるのか

アップリンク電力もダウンリンク電力も、探査機・地上局間の距離 $D$ が伸びるにつれて自由空間伝搬損失により $1/D^2$ で減衰します。したがって $(P_R/N_0)_{up}$ も $(P_R/N_0)_{down}$ も、ともに距離とともに小さくなっていきます。

非再生方式の逆数和の式を見ると、アップリンクの項 $(P_R/N_0)_{up}^{-1}$ が、ダウンリンクの項 $(P_R/N_0)_{down}^{-1}$ に対して無視できない大きさになってきたときに、合成SNRの劣化が顕著になります。近地球や火星程度の距離では、地上局側は大型パラボラアンテナと数十kW級の送信機を使えるため、アップリンクは通常ダウンリンクよりずっと強く( $(P_R/N_0)_{up} \gg (P_R/N_0)_{down}$ )、逆数和は事実上ダウンリンクの項だけで決まり、非再生方式でも大きな劣化は目立ちません。

しかし、木星以遠の外惑星探査や、探査機が低利得アンテナ(LGA)しか使えない非常時、あるいは単純に距離が極端に伸びる局面では、アップリンクのSNRも無視できないほど下がってきます。このとき非再生方式では逆数和の効果でダウンリンク単体よりもさらに悪いSNRしか得られませんが、再生方式はアップリンクがビット判定を誤らない限り、ダウンリンク単体のSNRをそのまま維持し続けます。これが「深宇宙(長距離・低SNR)ほど再生測距が有利になる」という定量的な理由です。

測距精度: チップレート・積分時間・自己相関の鋭さ

SNRが分かったところで、それが実際の測距精度(距離の推定誤差)にどう変換されるのかを見ましょう。

相関器による遅延推定のモデル

地上局(あるいは探査機)の受信機は、受信したPN符号のチップ列と、自分が持つ既知のPN符号レプリカとを相関させることで、往復遅延時間 $\tau$ を推定します。チップ周期を $T_c$ (チップレートは $R_c = 1/T_c$ )とし、受信チップの雑音付き検波出力を

y_k = a_k + n_k, \qquad n_k \sim \mathcal{N}\!\left(0, \sigma_n^2\right), \quad \sigma_n^2 = \frac{N_0}{2T_c}

とします( $a_k \in \{-1,+1\}$ は既知の送信チップ、 $\sigma_n^2$ はチップ整合フィルタ出力の雑音分散です)。試行遅延 $\Delta$ に対する相関器出力 $\Lambda(\Delta)$ の期待値は、PN符号の自己相関関数 $R_{PN}(\Delta - \tau)$ に比例します。マキシマル長PN系列は、原点付近では鋭い三角形状のピークを持ち、そこから外れると符号長 $N_{seq}$ に反比例した小さな値(理想的にはほぼゼロ)に落ち込むという性質があります。

R_{PN}(\epsilon) \approx 1 - \frac{|\epsilon|}{T_c}, \qquad |\epsilon| \le T_c

この三角ピークの**傾きの大きさが $1/T_c$ **であるという事実が、測距精度を決める本質です。チップ周期 $T_c$ が短い(チップレート $R_c$ が高い)ほどピークは急峻になり、「距離という物差し」の目盛りが細かくなります。

遅延推定分散の導出

積分時間 $T$ の間に $N = T/T_c$ 個のチップを蓄積するとします。相関器出力を真の遅延近傍で線形近似すると、ピークの傾き(判別特性)の大きさはおよそ $N/T_c$ 、蓄積された雑音の分散は独立な $N$ 個のチップ雑音の和として $N\sigma_n^2$ になります。遅延推定値の誤差 $\hat\epsilon$ は、この線形判別特性の傾きで雑音を割ったものとして近似できるので、

\sigma_\tau^2 \approx \frac{N\sigma_n^2}{\left(N/T_c\right)^2} = \frac{\sigma_n^2 T_c^2}{N} = \frac{(N_0/2T_c)\,T_c^2}{T/T_c} = \frac{N_0\, T_c^2}{2T}

ここで $N_0 = P_R/(P_R/N_0)$ を使って書き直すと、測距信号のSNR $(P_R/N_0)$ を使ったすっきりした形が得られます。

\boxed{\;\sigma_\tau^2 \approx \frac{T_c^{2}}{2\,T\,(P_R/N_0)}\;}

この式は測距精度を左右する3つの要因をきれいに分離して見せてくれます。

チップ周期 $T_c$ : 分散は $T_c^2$ に比例、つまりチップレートを2倍にすれば距離分散は1/4になる(標準偏差は1/2)。これは自己相関ピークが急峻になるほど、相関器がわずかな遅延ズレにも敏感に反応できることに対応しています。
積分時間 $T$ : 分散は $T$ に反比例。長く積分するほど雑音が平均化され精度が上がりますが、探査機・地上局間の相対運動(ドップラー)がある中で位相コヒーレンスを保てる時間には限界があるため、無限に伸ばせるわけではありません。
SNR $(P_R/N_0)$ : 分散はSNRに反比例。前節で見たとおり、再生測距は非再生測距に比べてこの $(P_R/N_0)$ を(特に深宇宙で)大きく改善するため、そのままこの式を通じて測距精度の向上に直結します。

距離への換算は、往復時間 $\tau$ から光速 $c$ を使って $R = c\tau/2$ と求まるので、

\sigma_R = \frac{c}{2}\,\sigma_\tau \approx \frac{c\,T_c}{2\sqrt{2\,T\,(P_R/N_0)}}

となります。なお、ここでの導出は相関器を理想的な線形判別器とみなした簡略化されたモデルであり、早遅相関器(early-late correlator)の具体的な実装やループフィルタの設計まで踏み込んだ厳密な推定理論(クラメール・ラオ下界)による扱いは、後のクラメール・ラオ下界と測距の回で改めて丁寧に扱います。ここでは「チップレートが上がるほど、積分時間が長いほど、SNRが高いほど精度が上がる」という定性的・定量的な骨格をつかんでおいてください。

PN符号の設計とアンビギュイティ

もう一点重要なのは、ここまでの議論はあくまで「符号1周期の中での微細な遅延推定精度」の話だという点です。三角ピークの鋭さはチップレベルの精度を決めますが、PN符号自体は周期的に繰り返されるため、符号1周期分の時間を超える遅延は原理的に区別がつきません(距離の曖昧さ、アンビギュイティ)。実際のCCSDS規格の測距符号は、周期の異なる複数のPN系列を組み合わせた**コンポジット符号(合成符号)**を用いることで、チップレベルの高精度(短い周期の成分による)と、探査機の予測軌道の不確かさをカバーできるだけの長い曖昧さ回避距離(長い周期を持つ成分の組み合わせによる)を同時に実現しています。

CCSDS 414.1-B における再生測距の位置づけ

再生測距はCCSDSの勧告書 CCSDS 414.1-B, Pseudo-Noise and Regenerative Ranging に規定されています。この規格は、探査機に搭載するトランスポンダが備えるべき再生測距機能の要求条件(オンボードでのPN符号復調・チップ判定・符号再構成・再変調の各段のタイミング精度や遅延キャリブレーション要求など)を定めたものです。

規格上、再生測距には非再生方式にはない設計課題もあります。探査機が「復調 → 判定 → 再構成 → 再変調」を行うのに要する処理時間(トランスポンダ遅延)を、地上局が正確に把握・較正できていなければ、その分がそのまま距離の系統誤差になってしまいます。そのため実際のトランスポンダでは、地上試験や飛行前較正によってこの再生遅延を非常に高い精度(サブナノ秒オーダー)で測定し、運用データ処理の中で補正する仕組みが不可欠です。これは非再生(ターンアラウンド)方式にも一定のトランスポンダ遅延補正が必要ですが、再生方式では復調・再構成という能動的な処理段が増える分、遅延較正の重要性がさらに増します。

実務での使われ方

再生測距は、特に火星より遠い深宇宙ミッションにおいて標準的な選択肢になりつつあります。理由は、前節までで見た通り明快です。

深宇宙ほど有利という定量的な性質そのもの。木星・土星といった外惑星探査、あるいはさらに遠方のミッションでは、アップリンクのSNRも無視できないほど低下するため、非再生方式の逆数和による劣化が顕著になります。再生方式はこの劣化を回避し、ダウンリンク単体で決まる測距精度を維持できます。
NASA/JPLの深宇宙用トランスポンダ(Small Deep Space Transponder、およびその後継機種)や、欧州宇宙機関(ESA)の水星探査機BepiColombo・木星氷衛星探査機JUICEに搭載されるトランスポンダは、CCSDS 414.1-B準拠の再生測距機能を備えています。
運用実績として、再生測距は良好な受信条件下でメートルからサブメートルオーダーの2-way測距精度を達成できることが報告されており、これは非再生方式で同じリンク条件下に期待される精度(往復雑音の重畳のため、しばしば数メートルからそれ以上)を上回ります。この精度差は、探査機の軌道決定(オービット・デターミネーション)や、後の回で扱う重力科学・相対論的検証実験の精度に直接効いてきます。
一方で、近地球・月・火星程度の距離で、かつアップリンクが十分強いミッションでは、逆数和の式が示す通りアップリンクの項がほぼ無視できるため、非再生方式でも再生方式と遜色ない精度が得られます。したがって、すべてのミッションが一律に再生測距を必要とするわけではなく、リンクバジェット(アップリンク・ダウンリンクそれぞれのSNR見積もり)を踏まえて、非再生・再生のどちらを使うか、あるいは両方を切り替え可能に設計するかが決められます。DSN(Deep Space Network)の運用でも、この選択はミッションごとのリンク解析結果に基づいて行われます。

演習問題

あるミッションで、アップリンクの測距SNRが $(P_R/N_0)_{up} = 20$ dB-Hz、ダウンリンクの測距SNRが $(P_R/N_0)_{down} = 15$ dB-Hz であったとします。非再生測距の合成SNR $(P_R/N_0)_{\text{2-way, 非再生}}$ を真数(線形値)とdB-Hzの両方で求め、再生測距の場合の $(P_R/N_0)_{\text{2-way, 再生}} \approx (P_R/N_0)_{down} = 15$ dB-Hz と比較して、非再生方式が何dB劣化しているか計算してください。
同じ状況で、アップリンクSNRが $(P_R/N_0)_{up} = 12$ dB-Hz まで低下した場合(ダウンリンクは15 dB-Hzのまま)を考えます。非再生方式の合成SNRを再計算し、問1の結果と比べて劣化幅がどう変化したか説明してください。この結果は「深宇宙ほど再生測距が有利になる」という本文の主張とどう対応しますか。
チップレート $R_c = 2$ Mchip/s(すなわち $T_c = 0.5\ \mu\text{s}$ )、積分時間 $T = 10$ s、測距SNR $(P_R/N_0) = 15$ dB-Hz の再生測距リンクについて、本文で導いた式 $\sigma_\tau^2 \approx T_c^2/\big(2T(P_R/N_0)\big)$ を使って遅延の標準偏差 $\sigma_\tau$ 、および距離の標準偏差 $\sigma_R = (c/2)\sigma_\tau$ をメートル単位で求めてください(dB-Hzを真数に直すのを忘れずに)。
再生測距の性能が「アップリンクのビット誤り率 $P_{e,up}$ が十分小さいこと」を前提にしていたことを思い出してください。もしアップリンクのSNRが著しく低く、探査機がPN符号のチップ判定をしばしば誤ってしまう( $P_{e,up}$ が無視できない)状況になったら、再生測距の精度はどうなると考えられますか。本文中の「復号転送(DF)中継」というアナロジーを踏まえて、非再生方式(増幅転送、AF中継)との比較も交えて自分の言葉で議論してください。

まとめと次回予告

再生測距は、探査機側で測距用PN符号を一度復調・判定・再構成してから送り返すことで、非再生(ターンアラウンド)測距が抱えていた「往復分の雑音の重畳」という弱点を解消します。SNRの観点では、非再生方式がアップリンク・ダウンリンクの逆数和(調和平均的な劣化)で決まるのに対し、再生方式はアップリンクのビット判定さえ正しければダウンリンク単体のSNRだけで決まり、これは通信工学における増幅転送(AF)中継と復号転送(DF)中継の違いに対応していました。測距精度の面では、 $\sigma_\tau^2 \approx T_c^2/(2T(P_R/N_0))$ という式を通じて、チップレート・積分時間・SNRのそれぞれがどう精度に寄与するかを見ました。この改善効果は距離が伸びるほど、すなわち深宇宙ミッションほど顕著になるため、CCSDS 414.1-Bに規定される再生測距は、火星以遠の探査機で標準的な選択肢になりつつあります。

次回は測距の話題からいったん離れ、トーン測距(sequential ranging tones) を取り上げます。PN符号による測距とは異なるアプローチとして、複数の正弦波(トーン)を順番に地上局と探査機の間でやり取りすることで距離を求める古典的な方式を学び、PN測距とトーン測距がそれぞれどんな場面で使われるのか、両者の設計思想の違いを比較します。

参考文献

CCSDS 414.1-B, Pseudo-Noise and Regenerative Ranging
CCSDS 401.0-B, Radio Frequency and Modulation Systems, Part 1: Earth Stations and Spacecraft
J. H. Yuen (ed.), Deep Space Telecommunications Systems Engineering, JPL Publication 82-76
DSN Telecommunications Link Design Handbook, DSN No. 810-005(Ranging に関するモジュール)
J. R. Wertz, D. F. Everett, J. J. Puschell (eds.), Space Mission Engineering: The New SMAD