変調・符号化#21

AWGNの物理的起源 — 熱雑音・雑音温度・中心極限定理

『加法性白色ガウス雑音(AWGN)』をここまで天下り的に仮定してきたが、その中身を初めて開ける回。抵抗中の電子の熱運動から出発し、Johnson-Nyquist雑音・中心極限定理・Friisの雑音公式を数式で追い、なぜ雑音が「白く」「ガウス的」で「加法的」なのかを物理的に理解する。

AWGN熱雑音雑音温度Friisの雑音公式中心極限定理

この回で学ぶこと

PCM/PSK/PMの回でBPSKのビット誤り率を導出したとき、受信信号を

r = s_i + n, \qquad n \sim \mathcal{N}(0, N_0/2)

と置き、雑音 $n$ を「加法性白色ガウス雑音(AWGN, Additive White Gaussian Noise)」として一切の説明なしに天下り的に導入しました。その後のPLLや変調損失の回でも、雑音スペクトル密度 $N_0$ や $N_0 = kT_{sys}$ という式を当たり前のように使い、リンクバジェット方程式の中に $G/T$ という項として組み込んできました。しかし、なぜ雑音は「加法性(Additive)」で、「白色(White)」で、「ガウス的(Gaussian)」なのでしょうか。この3つの形容詞はどれも自明ではなく、それぞれに物理的な根拠があります。

この回では、その根拠を1つずつ丁寧に開けていきます。具体的には、

熱雑音(Johnson-Nyquist雑音)の物理的起源と、雑音電力スペクトル密度 $N_0 = kT$ という式がどこから出てくるか
なぜそのスペクトルが(近似的に)平坦、つまり「白色」とみなせるのか
なぜ無数の微小な雑音源の重ね合わせが「ガウス分布」に収束するのか(中心極限定理)
なぜ雑音は信号に単純に「足し算」される(加法性)のか
受信機の複数の雑音源を1つの等価雑音温度にまとめるFriisの雑音公式
これが深宇宙受信機の実際の設計(パラメトリック増幅器・メーザーによる極低雑音化)や、 $G/T$ というリンク設計の最重要指標にどうつながるか

を扱います。今回のゴールは、これまで記号として使ってきた $N_0$ が、実は抵抗の中の電子の熱運動という極めて具体的な物理現象に由来する量であることを、数式で腹落ちさせることです。

直感的な導入 — 抵抗の中の電子はなぜ電圧を生むのか

金属抵抗体の中には、自由に動き回れる伝導電子が桁外れの数(1cm³あたり $10^{22}$ 〜 $10^{23}$ 個程度)存在しています。絶対零度でない限り、これらの電子は熱エネルギーを受け取って絶えずランダムな方向に運動し、格子(結晶を作る原子)と衝突を繰り返しています。外部から電圧をかけていなくても、ある瞬間に抵抗体の一端に電子がわずかに偏って集まれば、その瞬間だけ両端に微小な電位差が生じます。この電位差は次の瞬間にはまた別の方向を向き、絶えず激しく揺らぎ続けます。

これが熱雑音(thermal noise)、別名Johnson-Nyquist雑音です。1927年にJ. B. Johnsonが実験的に発見し、1928年にH. Nyquistが統計力学に基づいてその大きさを理論的に説明しました。重要なのは、これは特定の抵抗器や特定の受信機に固有の欠陥ではなく、有限温度を持つあらゆる導体に不可避に存在する、熱力学的に避けられない雑音だということです。地上局の受信機の中では、アンテナの給電系の抵抗損失、フィードラインの抵抗、低雑音増幅器(LNA)のトランジスタ内部の抵抗成分など、信号が通過するあらゆる素子がこの熱雑音を生み出しています。私たちがこれまで $n(t)$ として扱ってきた雑音は、突き詰めればこれらすべての雑音源の重ね合わせなのです。

熱雑音の物理: Johnson-Nyquist雑音とNyquistの式

利用可能雑音電力とNyquistの導出

Nyquistの議論は巧妙です。特性インピーダンス $R$ の無損失な伝送線路の両端に、それぞれ抵抗値 $R$ (整合)の抵抗器を温度 $T$ の熱浴の中に置いて接続します。整合が取れているので反射は起きず、伝送線路は両端の抵抗器の間で熱エネルギーをやり取りする1次元の空洞(キャビティ)とみなせます。この伝送線路は、ちょうど両端を固定した弦のように、離散的な定在波モードを持ちます。

熱平衡において、統計力学のエネルギー等分配則により、各モードには平均エネルギー $kT$ ( $k$ はボルツマン定数、 $k \approx 1.38\times10^{-23}$ J/K)が分配されます(電場・磁場それぞれに $kT/2$ ずつ)。帯域幅 $B$ の中に含まれるモードの数を数え、伝送線路の長さで割って単位時間あたりに一方向に流れるエネルギー(つまり電力)に換算すると、驚くほどシンプルな結果が得られます。

P_n = kTB

この**利用可能雑音電力(available noise power)**は、抵抗値 $R$ にはまったく依存しません。これは、後で見る等価雑音温度という考え方が、回路の細部によらず普遍的に使える理由でもあります。

回路としては、雑音を持つ抵抗器 $R$ は、テブナンの定理により「雑音のない抵抗 $R$ 」と「直列に入った雑音電圧源」に等価変換できます。この雑音電圧源の(片側)電力スペクトル密度は

S_v(f) = 4kTR \quad [\text{V}^2/\text{Hz}]

であり、帯域幅 $B$ にわたる開放端の雑音電圧の2乗平均は

\overline{v_n^2} = 4kTRB

となります。この抵抗を整合負荷(同じく抵抗値 $R$ )に接続すると、最大電力伝達定理より負荷が受け取る電力は $\overline{v_n^2}/(4R) = kTB$ となり、先ほどの結果と一致します。

量子論的な補正と「白色」の限界

上の議論は各モードに $kT$ を割り当てる古典的な等分配則に基づいています。より厳密には、プランクの黒体輻射の式と同じ形で、周波数 $f$ のモードの平均エネルギーは

\bar\epsilon(f) = \frac{hf}{e^{hf/kT}-1}

で与えられます( $h$ はプランク定数)。室温( $T\approx290$ K)や深宇宙受信機の運用温度でも、通信で使う周波数帯(数GHz〜数十GHz)では $hf \ll kT$ が成り立つため、指数関数をテイラー展開( $e^x \approx 1+x$ )すれば

\bar\epsilon(f) \approx \frac{hf}{(1+hf/kT)-1} = kT

と、周波数によらない一定値 $kT$ に帰着します。これこそが熱雑音のスペクトルが(この近似が成り立つ範囲で)周波数によらず平坦、つまり「白色」になる理由です。逆に言えば、 $hf \sim kT$ となるような極端に高い周波数(室温では数THz程度)や極端に低い温度に近づくと、この近似は破れ、スペクトルは平坦でなくなります。深宇宙受信機で使われる極低雑音増幅器(後述するメーザーなど)を数K付近まで冷却する設計は、まさにこの量子論的な効果が無視できなくなる領域に接近する試みでもあります。

なぜ「白色」なのか — 平坦なスペクトルの近似としての意味

$N_0 \equiv kT$ [W/Hz] を雑音の(片側)電力スペクトル密度と定義すると、前節の議論から、これは実用上の通信帯域幅(数kHz〜数百MHz程度)にわたって極めてよい精度で一定とみなせます。これが「白色雑音」というモデルの実体です。

ただし注意すべき点があります。文字通り全周波数にわたって $N_0$ が一定だとすると、総雑音電力 $\int_{-\infty}^{\infty} N_0\, df$ は無限大に発散してしまい、物理的にあり得ません。実際には前節で見た量子論的な補正により、 $hf \gg kT$ となる超高周波数側でスペクトルは指数関数的に減衰します。つまり「白色雑音」とは、受信機が実際に使う有限の帯域幅の中でのみ成り立つ近似であり、数学的な便宜としての理想化です。幸い、通信で使う電波の周波数帯(Sバンド、Xバンド、Kaバンドなど、高々数十GHz)は、この近似が破れ始める周波数(数THz)よりもはるかに低いため、実務上は「 $N_0$ は受信機帯域内で完全に一定」として扱って何の問題もありません。これが、これまでのレッスンで $N_0$ を定数として気軽に扱ってきたことの正当化です。

なぜ「ガウス」なのか — 中心極限定理

抵抗体の中の雑音電圧は、莫大な数の伝導電子それぞれの熱運動(および、増幅器内部の半導体接合を電子が不規則なタイミングで通過することによるショット雑音)の重ね合わせとして生じています。個々の電子の運動や個々の接合通過イベントはそれぞれ複雑でランダムな挙動をしますが、観測される巨視的な雑音電圧はなぜかいつも同じ形の分布、つまりガウス分布(正規分布)に従います。この普遍性を説明するのが**中心極限定理(Central Limit Theorem, CLT)**です。

雑音電圧を、多数の独立(あるいは弱く相関した)微小な寄与の和としてモデル化します。

v_n(t) = \sum_{i=1}^{N} X_i(t)

各 $X_i$ が平均ゼロ、分散 $\sigma_i^2$ を持ち、どれか1つが全体を支配することのない(リンデベルグ条件を満たすような)状況では、 $N \to \infty$ のとき、和 $v_n$ の分布は

v_n \ \xrightarrow{d}\ \mathcal{N}\!\left(0,\ \sum_{i=1}^{N}\sigma_i^2\right)

というガウス分布に収束します。ここで重要なのは、個々の $X_i$ がどんな分布であっても構わないという点です。電子1個の運動そのものは正規分布に従っている必要はまったくなく、単に「莫大な数の、互いにほぼ独立な、飛び抜けて大きな寄与を持たない微小要因の和である」というだけで、結果はガウス分布に収束します。この考え方をランダムなインパルス列の重ね合わせという形でより厳密に定式化したのがS. O. Riceの古典的な研究(1944–1945年)で、ショット雑音や熱雑音がガウス過程として扱える数学的基礎を与えました。

深宇宙受信機の雑音は、抵抗中の $10^{23}$ 個オーダーの電子の熱運動、増幅器内の半導体接合を通過する電子のショット雑音、宇宙背景放射由来の光子ゆらぎなど、性質の異なる無数の微小雑音源の重ね合わせです。それぞれの物理機構は全く違っても、「独立な微小要因が大量に足し合わされる」という構造さえ共通していれば、中心極限定理により結果は必ずガウス分布に近づくというのが、AWGNモデルの「G」を正当化する数学的な根拠です。

なぜ「加法性」なのか — 線形回路としての雑音源

最後に残った「加法性(Additive)」については、実は物理よりも回路理論の性質です。前述の通り、雑音を持つ抵抗はテブナンの等価回路により「雑音のない抵抗」と「独立な雑音電圧源」の直列接続として表現できます。受信機の回路(アンテナ、フィードライン、増幅器の線形動作領域)は基本的に線形素子の集合とみなせるため、重ね合わせの原理がそのまま成り立ちます。つまり、信号源が作る電圧 $s(t)$ と、雑音源が作る電圧 $n(t)$ は、回路の同じ節点において単純に足し合わされます。

r(t) = s(t) + n(t)

これは信号の振幅がどれだけ大きくても小さくても成り立つ関係です(フェージングのように信号に掛け算的に効いてくる劣化とは対照的です)。熱雑音は信号の有無や大きさに関係なく、抵抗温度だけで決まる一定のペースで発生し続けており、信号が乗っている搬送波とは物理的に独立な起源を持ちます。この「独立性」と「回路の線形性」の2つが揃って初めて、 $r = s + n$ という単純な加法モデルが正当化されるのです。

等価雑音温度とFriisの雑音公式

ここまでで、雑音1つ1つの起源は分かりました。しかし実際の受信機は、アンテナ、フィードライン、LNA、ミキサー、IF増幅器と、多段の素子が縦続接続された系です。各段がそれぞれ独自の雑音を生み出しているとき、これらをどうやって1つの数値にまとめればよいのでしょうか。

まず、増幅器やその他の2端子対回路の内部雑音を表す便利な方法として、等価雑音温度 $T_e$ を定義します。これは「入力に、温度 $T_e$ の抵抗器と同じだけの雑音電力 $kT_eB$ を追加で加えたときと同じ量の雑音が、出力に現れる」と考えたときの $T_e$ です。つまり、その段が生み出す内部雑音を、あたかも「入力端に外から加わった熱雑音」であるかのように仮想的に置き換えて表現します。等価な指標として、基準温度 $T_0 = 290$ K を使った雑音指数(Noise Figure) $F = 1 + T_e/T_0$ もよく使われます。

複数の段が縦続接続された系を考えます。 $i$ 番目の段の電力利得を $G_i$ 、その段自身の(自段の入力端に換算した)雑音温度を $T_i$ とすると、系全体を最初の段の入力端に換算した等価雑音温度は、次のFriisの雑音公式(H. T. Friis, 1944年)で与えられます。

T_e = T_1 + \frac{T_2}{G_1} + \frac{T_3}{G_1 G_2} + \cdots + \frac{T_n}{G_1 G_2 \cdots G_{n-1}}

この式の意味を直感的に捉えると、「後段で発生した雑音は、それより前段にある全ての利得で割り引かれてから、最初の入力端に到達したものとして数えられる」ということです。言い換えれば、初段の利得 $G_1$ が十分大きければ、2段目以降の雑音の寄与は事実上無視できるほど小さくなります。これが、受信機の設計において「できるだけ低雑音・高利得なLNAを、アンテナのできるだけ近くに、鎖の一番最初に置く」ことが極めて重要とされる理由です。もしLNAの前に損失のある素子(ケーブルや導波管)を挟んでしまうと、その損失自体が信号を減衰させると同時に、 $G_1$ を実質的に小さくしてしまい、後段の雑音がまるごと効いてくるようになります。

損失のある受動素子(伝送線路や導波管)自体も雑音源です。損失(利得の逆数) $L = 1/G > 1$ 、物理温度 $T_{phys}$ の受動素子は、それ自体が

T_{line} = (L - 1)\, T_{phys}

という等価雑音温度を持ちます(これもNyquistの式の系として導けます)。したがって、アンテナからLNAまでのフィードラインはできる限り短く低損失にし、可能であればLNA自体をアンテナ給電部のすぐ近く、あるいは極低温に冷却して設置することが、システム全体の雑音性能を左右します。

アンテナ雑音温度とシステム雑音温度

受信機の入力そのもの、つまりアンテナも「雑音源」です。ただしアンテナが拾う雑音は、内部の抵抗損失による熱雑音だけでなく、アンテナのビームパターンを通じて空を見て受け取る外来雑音も含みます。これをアンテナ雑音温度 $T_A$ と呼び、「アンテナが実際に受け取っている雑音電力と同じ電力を生み出す、仮想的な抵抗器の温度」として定義します。 $T_A$ に寄与する要因には次のようなものがあります。

宇宙背景放射: 全天に一様に存在する黒体放射で、温度にしてわずか約2.7 K。深宇宙通信の周波数帯では避けられない下限として効いてきます。
銀河雑音: 周波数が低いほど、またアンテナが銀河面の方向を向いているほど強くなります。
大気雑音: 仰角が低いほど電波が通過する大気の厚みが増えて雑音が増加し、特にKaバンドなど高い周波数では水蒸気・酸素による吸収・放射の影響が顕著になります。
地表からの漏れ込み(スピルオーバー): アンテナのサイドローブ・バックローブが、常温(約290 K)の地表を向いてしまうことによる雑音混入。

このアンテナ雑音温度と、受信機部分の等価雑音温度 $T_e$ (Friisの公式で求めたもの)を足し合わせたものが、システム雑音温度です(アンテナ端に換算する慣例に従うと)。

T_{sys} = T_A + T_e

そして、これまでのレッスンで何気なく使ってきた雑音電力スペクトル密度は、まさにこの $T_{sys}$ を使って

N_0 = k\, T_{sys}

と表されます。変調損失の回のリンクバジェット方程式に登場した $G/T$ (アンテナ利得を $T_{sys}$ で割ったもの)は、このシステム雑音温度をアンテナ利得と対にして、地上局の受信性能全体を1つの数値に凝縮した指標だったのです。 $T_{sys}$ が小さいほど(つまり熱雑音の起源を突き詰めて低減できるほど)、 $G/T$ は大きくなり、リンク全体の $E_b/N_0$ が改善します。

実務での使われ方

深宇宙受信機の設計は、この $T_{sys}$ をいかに小さく抑えるかという戦いの歴史でもあります。

低雑音増幅器の進化: 常温で動作する一般的な増幅器の等価雑音温度は、素子にもよりますが数百K程度になり得ます。これに対し、NASA/JPLのDeep Space Network(DSN)では、極低温(液体ヘリウムでおよそ4 K程度)まで冷却したHEMT(高電子移動度トランジスタ)増幅器や、**メーザー(MASER, Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation)**と呼ばれる、誘導放出という量子力学的な原理で信号を増幅する装置を使用してきました。これらの極低雑音増幅器は、Friisの雑音公式で $T_1$ にあたる初段の雑音温度を、数K〜数十Kという極めて低い値まで押し下げます。
代表的な数値: DSNの70mアンテナ局のXバンド受信系では、メーザーや高性能HEMT増幅器を使うことで、システム雑音温度 $T_{sys}$ を20〜25 K程度まで低減しているとされます。常温の受信機であれば数百Kに達するところを、桁で1つ以上改善していることになります。
$G/T$ への効き方: $T_{sys}$ を半分にすれば $N_0$ も半分になり、リンクバジェット上は約3 dBの改善に相当します。深宇宙リンクでは送信電力を大きく上げることが困難なため(探査機側の電力・重量制約が厳しい)、受信側の $T_{sys}$ 低減は、実質的に「タダで」得られる貴重なリンクマージンの源泉として、DSNのアンテナ局が継続的に投資してきた技術領域です。
クリティカルフェーズとの関係: PCM/PSK/PMの回で触れたように、打ち上げ直後や軌道投入時など、探査機からの信号が極めて弱いクリティカルフェーズでは、 $T_{sys}$ が小さいほど、より低い $C/N_0$ (搬送波電力対雑音密度比)でもPLLがロックを維持できる余裕が生まれます。低雑音の受信機設計は、単なる数値上の改善ではなく、探査機の生死に関わるクリティカルフェーズの成否を左右する実務的な要素です。

演習問題

ボルツマン定数 $k = 1.38\times10^{-23}$ J/K、基準温度 $T_0 = 290$ K のとき、帯域幅 $B=1$ Hzあたりの雑音電力 $P_n = kT_0B$ をワット単位で計算し、それをdBm(dBm/Hz)に変換してください。RF工学でよく知られた「 $-174$ dBm/Hz」という数値と一致することを確認してください。
ある受信機の初段(LNA)は雑音温度 $T_1 = 10$ K、利得 $G_1 = 30$ dB(真数では1000倍)です。続く2段目(ミキサー+IF増幅器一式)は雑音温度 $T_2 = 600$ K です。Friisの雑音公式を使って、この2段構成全体の等価雑音温度 $T_e$ を求めてください。2段目の寄与が全体に対してどれほど小さいか、数値で確認してください。
問2で求めた $T_e$ に加えて、アンテナ雑音温度 $T_A = 15$ K(晴天・高仰角の静かな空)だとします。システム雑音温度 $T_{sys} = T_A + T_e$ を求め、対応する雑音電力スペクトル密度 $N_0 = kT_{sys}$ をdBm/Hzで表してください。さらにアンテナ利得が $G = 70$ dB のとき、 $G/T$ をdB/Kで求めてください。
「雑音がガウス分布に従う」ことの根拠(中心極限定理)と、「雑音が信号に加法的に効く」ことの根拠(回路の線形性)は、実は全く別の議論に基づいています。この2つの性質がそれぞれどのような物理的・数学的根拠から来ているのかを、自分の言葉で整理して説明してください。

まとめと次回予告

これまで記号として扱ってきたAWGNの3つの形容詞には、それぞれ独立した物理的根拠がありました。「白色」は、通信帯域幅では $hf \ll kT$ が成り立つために熱雑音のスペクトルがほぼ平坦になるという量子論的な近似から、「ガウス」は無数の独立な微小雑音源の重ね合わせが中心極限定理によって必ずガウス分布に収束するという統計的な普遍性から、「加法性」は雑音源と信号源が線形回路の中で独立に重ね合わされるという回路理論の性質から、それぞれ導かれます。そして受信機を構成する複数の雑音源は、Friisの雑音公式によって1つの等価雑音温度 $T_{sys}$ に集約でき、これが $N_0 = kT_{sys}$ としてリンクバジェットの $G/T$ 項の中に組み込まれていました。

ここまでのレッスンで、変調(PCM/PSK/PM)、搬送波追尾(PLL)、電力配分(変調損失)、そして雑音そのものの物理(今回)という、リンク設計の主要な要素が出揃いました。次回以降は、この物理的に正しくモデル化されたAWGN通信路の上で、誤り訂正符号によってビット誤り率をどこまで改善できるかというテーマに踏み込みます。手始めに、深宇宙通信で長く標準として使われてきた畳み込み符号とビタビ復号を扱う予定です。

参考文献

J. B. Johnson, “Thermal Agitation of Electricity in Conductors,” Physical Review, vol. 32, p. 97, 1928
H. Nyquist, “Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors,” Physical Review, vol. 32, p. 110, 1928
H. T. Friis, “Noise Figures of Radio Receivers,” Proceedings of the IRE, vol. 32, no. 7, pp. 419–422, 1944
S. O. Rice, “Mathematical Analysis of Random Noise,” Bell System Technical Journal, vol. 23–24, 1944–1945
DSN Telecommunications Link Design Handbook, DSN No. 810-005(System Noise Temperature / G-over-T に関するモジュール)
J. H. Yuen (ed.), Deep Space Telecommunications Systems Engineering, JPL Publication 82-76